Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7482 / 7395
↖ ↑ ↗
← S 80.893716°
E148.798828°		 ← 773.37 m → S 80.893716°
E148.842773°		 →
↑
773.06 m
↓
↑
773.06 m
↓
S 80.900668°
E148.798828°		 ← 772.78 m →
597 631 m²		 S 80.900668°
E148.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91339111328125 y=0.90277099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91339111328125 × 213)
    floor (0.91339111328125 × 8192)
    floor (7482.5)     		tx = 7482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90277099609375 × 213)
    floor (0.90277099609375 × 8192)
    floor (7395.5)     		ty = 7395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7482 / 7395 ti = "13/7482/7395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7482/7395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7482 ÷ 213
    7482 ÷ 8192     		x = 0.913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7395 ÷ 213
    7395 ÷ 8192     		y = 0.9027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59702947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9027099609375 × 2 - 1) × π
    -0.805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53030130954504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59702947} λ = 2.59702947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53030130954504))-π/2
    2×atan(0.0796350218783932)-π/2
    2×0.0794673180901537-π/2
    0.158934636180307-1.57079632675     		φ = -1.41186169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59702947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41186169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.893716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7482 KachelY 7395 2.59702947 -1.41186169 148.798828 -80.893716
    Oben rechts KachelX + 1 7483 KachelY 7395 2.59779646 -1.41186169 148.842773 -80.893716
    Unten links KachelX 7482 KachelY + 1 7396 2.59702947 -1.41198303 148.798828 -80.900668
    Unten rechts KachelX + 1 7483 KachelY + 1 7396 2.59779646 -1.41198303 148.842773 -80.900668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41186169--1.41198303) × R
    0.00012133999999997 × 6371000     		dl = 773.057139999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41186169--1.41198303) × R
    0.00012133999999997 × 6371000     		dr = 773.057139999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59702947-2.59779646) × cos(-1.41186169) × R
    0.000766990000000245 × 0.158266360777445 × 6371000     		do = 773.367509971953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59702947-2.59779646) × cos(-1.41198303) × R
    0.000766990000000245 × 0.158146548926799 × 6371000     		du = 772.782050167707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41186169)-sin(-1.41198303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158266360777445-0.158146548926799)×R²
    abs(2.59779646-2.59702947)×0.000119811850646329×R²
    0.000766990000000245×0.000119811850646329×6371000²
    0.000766990000000245×0.000119811850646329×40589641000000     		ar = 597630.979222728m²