Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74819 / 77762
↖ ↑ ↗
← S 31.807561°
E 25.496521°		 ← 259.56 m → S 31.807561°
E 25.499268°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.809895°
E 25.496521°		 ← 259.55 m →
67 352 m²		 S 31.809895°
E 25.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570827484130859 y=0.593280792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570827484130859 × 217)
    floor (0.570827484130859 × 131072)
    floor (74819.5)     		tx = 74819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593280792236328 × 217)
    floor (0.593280792236328 × 131072)
    floor (77762.5)     		ty = 77762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74819 / 77762 ti = "17/74819/77762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74819/77762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74819 ÷ 217
    74819 ÷ 131072     		x = 0.570823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77762 ÷ 217
    77762 ÷ 131072     		y = 0.593276977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570823669433594 × 2 - 1) × π
    0.141647338867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44499824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593276977539062 × 2 - 1) × π
    -0.186553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586076534754806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44499824} λ = 0.44499824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586076534754806))-π/2
    2×atan(0.556506440696549)-π/2
    2×0.507824830840356-π/2
    1.01564966168071-1.57079632675     		φ = -0.55514667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44499824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.496521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55514667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.807561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74819 KachelY 77762 0.44499824 -0.55514667 25.496521 -31.807561
    Oben rechts KachelX + 1 74820 KachelY 77762 0.44504618 -0.55514667 25.499268 -31.807561
    Unten links KachelX 74819 KachelY + 1 77763 0.44499824 -0.55518740 25.496521 -31.809895
    Unten rechts KachelX + 1 74820 KachelY + 1 77763 0.44504618 -0.55518740 25.499268 -31.809895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55514667--0.55518740) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55514667--0.55518740) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44499824-0.44504618) × cos(-0.55514667) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849823144354701 × 6371000     		do = 259.557862733792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44499824-0.44504618) × cos(-0.55518740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849801676172227 × 6371000     		du = 259.551305798273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55514667)-sin(-0.55518740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849823144354701-0.849801676172227)×R²
    abs(0.44504618-0.44499824)×2.14681824742824e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14681824742824e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14681824742824e-05×40589641000000     		ar = 67352.0345108051m²