Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74819 / 54781
↖ ↑ ↗
← N 28.311635°
E 25.496521°		 ← 268.89 m → N 28.311635°
E 25.499268°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.309217°
E 25.496521°		 ← 268.90 m →
72 294 m²		 N 28.309217°
E 25.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570827484130859 y=0.417949676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570827484130859 × 217)
    floor (0.570827484130859 × 131072)
    floor (74819.5)     		tx = 74819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417949676513672 × 217)
    floor (0.417949676513672 × 131072)
    floor (54781.5)     		ty = 54781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74819 / 54781 ti = "17/74819/54781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74819/54781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74819 ÷ 217
    74819 ÷ 131072     		x = 0.570823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54781 ÷ 217
    54781 ÷ 131072     		y = 0.417945861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570823669433594 × 2 - 1) × π
    0.141647338867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44499824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417945861816406 × 2 - 1) × π
    0.164108276367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.515561355413704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44499824} λ = 0.44499824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515561355413704))-π/2
    2×atan(1.67457827157885)-π/2
    2×1.03246378748537-π/2
    2.06492757497074-1.57079632675     		φ = 0.49413125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44499824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.496521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49413125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.311635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74819 KachelY 54781 0.44499824 0.49413125 25.496521 28.311635
    Oben rechts KachelX + 1 74820 KachelY 54781 0.44504618 0.49413125 25.499268 28.311635
    Unten links KachelX 74819 KachelY + 1 54782 0.44499824 0.49408905 25.496521 28.309217
    Unten rechts KachelX + 1 74820 KachelY + 1 54782 0.44504618 0.49408905 25.499268 28.309217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49413125-0.49408905) × R
    4.22000000000478e-05 × 6371000     		dl = 268.856200000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49413125-0.49408905) × R
    4.22000000000478e-05 × 6371000     		dr = 268.856200000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44499824-0.44504618) × cos(0.49413125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880381061463476 × 6371000     		do = 268.891037179603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44499824-0.44504618) × cos(0.49408905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880401074746932 × 6371000     		du = 268.897149751512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49413125)-sin(0.49408905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880381061463476-0.880401074746932)×R²
    abs(0.44504618-0.44499824)×2.00132834553557e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00132834553557e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00132834553557e-05×40589641000000     		ar = 72293.8441823419m²