Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74818 / 77769
↖ ↑ ↗
← S 31.823899°
E 25.493774°		 ← 259.51 m → S 31.823899°
E 25.496521°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.826232°
E 25.493774°		 ← 259.51 m →
67 340 m²		 S 31.826232°
E 25.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570819854736328 y=0.593334197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570819854736328 × 217)
    floor (0.570819854736328 × 131072)
    floor (74818.5)     		tx = 74818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593334197998047 × 217)
    floor (0.593334197998047 × 131072)
    floor (77769.5)     		ty = 77769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74818 / 77769 ti = "17/74818/77769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74818/77769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74818 ÷ 217
    74818 ÷ 131072     		x = 0.570816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77769 ÷ 217
    77769 ÷ 131072     		y = 0.593330383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570816040039062 × 2 - 1) × π
    0.141632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44495030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593330383300781 × 2 - 1) × π
    -0.186660766601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.586412093052147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44495030} λ = 0.44495030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586412093052147))-π/2
    2×atan(0.556319731670483)-π/2
    2×0.507682260846156-π/2
    1.01536452169231-1.57079632675     		φ = -0.55543181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44495030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55543181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.823899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74818 KachelY 77769 0.44495030 -0.55543181 25.493774 -31.823899
    Oben rechts KachelX + 1 74819 KachelY 77769 0.44499824 -0.55543181 25.496521 -31.823899
    Unten links KachelX 74818 KachelY + 1 77770 0.44495030 -0.55547254 25.493774 -31.826232
    Unten rechts KachelX + 1 74819 KachelY + 1 77770 0.44499824 -0.55547254 25.496521 -31.826232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55543181--0.55547254) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55543181--0.55547254) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44495030-0.44499824) × cos(-0.55543181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849672821654278 × 6371000     		do = 259.511950311476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44495030-0.44499824) × cos(-0.55547254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849651343603166 × 6371000     		du = 259.505390361821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55543181)-sin(-0.55547254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849672821654278-0.849651343603166)×R²
    abs(0.44499824-0.44495030)×2.14780511120782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14780511120782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14780511120782e-05×40589641000000     		ar = 67340.1202673735m²