Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74818 / 53950
↖ ↑ ↗
← N 30.301761°
E 25.493774°		 ← 263.70 m → N 30.301761°
E 25.496521°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
N 30.299389°
E 25.493774°		 ← 263.70 m →
69 537 m²		 N 30.299389°
E 25.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570819854736328 y=0.411609649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570819854736328 × 217)
    floor (0.570819854736328 × 131072)
    floor (74818.5)     		tx = 74818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411609649658203 × 217)
    floor (0.411609649658203 × 131072)
    floor (53950.5)     		ty = 53950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74818 / 53950 ti = "17/74818/53950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74818/53950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74818 ÷ 217
    74818 ÷ 131072     		x = 0.570816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53950 ÷ 217
    53950 ÷ 131072     		y = 0.411605834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570816040039062 × 2 - 1) × π
    0.141632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44495030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411605834960938 × 2 - 1) × π
    0.176788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.555396918997971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44495030} λ = 0.44495030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.555396918997971))-π/2
    2×atan(1.74263253147921)-π/2
    2×1.04983090995443-π/2
    2.09966181990886-1.57079632675     		φ = 0.52886549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44495030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52886549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74818 KachelY 53950 0.44495030 0.52886549 25.493774 30.301761
    Oben rechts KachelX + 1 74819 KachelY 53950 0.44499824 0.52886549 25.496521 30.301761
    Unten links KachelX 74818 KachelY + 1 53951 0.44495030 0.52882410 25.493774 30.299389
    Unten rechts KachelX + 1 74819 KachelY + 1 53951 0.44499824 0.52882410 25.496521 30.299389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52886549-0.52882410) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52886549-0.52882410) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44495030-0.44499824) × cos(0.52886549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863380047757645 × 6371000     		do = 263.698489987441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44495030-0.44499824) × cos(0.52882410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863400930514482 × 6371000     		du = 263.704868118901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52886549)-sin(0.52882410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863380047757645-0.863400930514482)×R²
    abs(0.44499824-0.44495030)×2.08827568375369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08827568375369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08827568375369e-05×40589641000000     		ar = 69536.9962221118m²