Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74817 / 77759
↖ ↑ ↗
← S 31.800559°
E 25.491028°		 ← 259.52 m → S 31.800559°
E 25.493774°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
S 31.802893°
E 25.491028°		 ← 259.52 m →
67 360 m²		 S 31.802893°
E 25.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570812225341797 y=0.593257904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570812225341797 × 217)
    floor (0.570812225341797 × 131072)
    floor (74817.5)     		tx = 74817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593257904052734 × 217)
    floor (0.593257904052734 × 131072)
    floor (77759.5)     		ty = 77759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74817 / 77759 ti = "17/74817/77759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74817/77759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74817 ÷ 217
    74817 ÷ 131072     		x = 0.570808410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77759 ÷ 217
    77759 ÷ 131072     		y = 0.593254089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570808410644531 × 2 - 1) × π
    0.141616821289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44490237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593254089355469 × 2 - 1) × π
    -0.186508178710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.585932724055946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44490237} λ = 0.44490237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585932724055946))-π/2
    2×atan(0.55658647803168)-π/2
    2×0.507885939986484-π/2
    1.01577187997297-1.57079632675     		φ = -0.55502445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44490237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55502445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.800559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74817 KachelY 77759 0.44490237 -0.55502445 25.491028 -31.800559
    Oben rechts KachelX + 1 74818 KachelY 77759 0.44495030 -0.55502445 25.493774 -31.800559
    Unten links KachelX 74817 KachelY + 1 77760 0.44490237 -0.55506519 25.491028 -31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 74818 KachelY + 1 77760 0.44495030 -0.55506519 25.493774 -31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55502445--0.55506519) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55502445--0.55506519) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44490237-0.44495030) × cos(-0.55502445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.849887556252107 × 6371000     		do = 259.523389449041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44490237-0.44495030) × cos(-0.55506519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 259.516833563854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55502445)-sin(-0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849887556252107-0.849866087030189)×R²
    abs(0.44495030-0.44490237)×2.14692219172585e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14692219172585e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14692219172585e-05×40589641000000     		ar = 67359.6231719957m²