Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74817 / 77248
↖ ↑ ↗
← S 30.600094°
E 25.491028°		 ← 262.84 m → S 30.600094°
E 25.493774°		 →
↑
262.87 m
↓
↑
262.87 m
↓
S 30.602458°
E 25.491028°		 ← 262.83 m →
69 091 m²		 S 30.602458°
E 25.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570812225341797 y=0.589359283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570812225341797 × 217)
    floor (0.570812225341797 × 131072)
    floor (74817.5)     		tx = 74817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589359283447266 × 217)
    floor (0.589359283447266 × 131072)
    floor (77248.5)     		ty = 77248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74817 / 77248 ti = "17/74817/77248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74817/77248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74817 ÷ 217
    74817 ÷ 131072     		x = 0.570808410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77248 ÷ 217
    77248 ÷ 131072     		y = 0.58935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570808410644531 × 2 - 1) × π
    0.141616821289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44490237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.561436968350098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44490237} λ = 0.44490237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561436968350098))-π/2
    2×atan(0.570388843958924)-π/2
    2×0.518361968647957-π/2
    1.03672393729591-1.57079632675     		φ = -0.53407239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44490237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53407239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.600094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74817 KachelY 77248 0.44490237 -0.53407239 25.491028 -30.600094
    Oben rechts KachelX + 1 74818 KachelY 77248 0.44495030 -0.53407239 25.493774 -30.600094
    Unten links KachelX 74817 KachelY + 1 77249 0.44490237 -0.53411365 25.491028 -30.602458
    Unten rechts KachelX + 1 74818 KachelY + 1 77249 0.44495030 -0.53411365 25.493774 -30.602458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53407239--0.53411365) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dl = 262.867460000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53407239--0.53411365) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dr = 262.867460000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44490237-0.44495030) × cos(-0.53407239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.860741192740037 × 6371000     		do = 262.83767791988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44490237-0.44495030) × cos(-0.53411365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.860720188900367 × 6371000     		du = 262.83126414476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53407239)-sin(-0.53411365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860741192740037-0.860720188900367)×R²
    abs(0.44495030-0.44490237)×2.1003839669409e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1003839669409e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1003839669409e-05×40589641000000     		ar = 69090.6298104256m²