Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74815 / 77765
↖ ↑ ↗
← S 31.814563°
E 25.485535°		 ← 259.54 m → S 31.814563°
E 25.488281°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
S 31.816897°
E 25.485535°		 ← 259.53 m →
67 363 m²		 S 31.816897°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570796966552734 y=0.593303680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570796966552734 × 217)
    floor (0.570796966552734 × 131072)
    floor (74815.5)     		tx = 74815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593303680419922 × 217)
    floor (0.593303680419922 × 131072)
    floor (77765.5)     		ty = 77765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74815 / 77765 ti = "17/74815/77765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74815/77765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74815 ÷ 217
    74815 ÷ 131072     		x = 0.570793151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77765 ÷ 217
    77765 ÷ 131072     		y = 0.593299865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570793151855469 × 2 - 1) × π
    0.141586303710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44480649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593299865722656 × 2 - 1) × π
    -0.186599731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.586220345453667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44480649} λ = 0.44480649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586220345453667))-π/2
    2×atan(0.556426414870815)-π/2
    2×0.507763726326004-π/2
    1.01552745265201-1.57079632675     		φ = -0.55526887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44480649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.485535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55526887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.814563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74815 KachelY 77765 0.44480649 -0.55526887 25.485535 -31.814563
    Oben rechts KachelX + 1 74816 KachelY 77765 0.44485443 -0.55526887 25.488281 -31.814563
    Unten links KachelX 74815 KachelY + 1 77766 0.44480649 -0.55530961 25.485535 -31.816897
    Unten rechts KachelX + 1 74816 KachelY + 1 77766 0.44485443 -0.55530961 25.488281 -31.816897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55526887--0.55530961) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55526887--0.55530961) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44480649-0.44485443) × cos(-0.55526887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849758730306304 × 6371000     		do = 259.538189025394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44480649-0.44485443) × cos(-0.55530961) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		du = 259.531629187843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55526887)-sin(-0.55530961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849758730306304-0.849737252622235)×R²
    abs(0.44485443-0.44480649)×2.14776840694597e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14776840694597e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14776840694597e-05×40589641000000     		ar = 67363.4639565711m²