Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74814 / 77658
↖ ↑ ↗
← S 31.564495°
E 25.482788°		 ← 260.24 m → S 31.564495°
E 25.485535°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
S 31.566835°
E 25.482788°		 ← 260.23 m →
67 711 m²		 S 31.566835°
E 25.485535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570789337158203 y=0.592487335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570789337158203 × 217)
    floor (0.570789337158203 × 131072)
    floor (74814.5)     		tx = 74814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592487335205078 × 217)
    floor (0.592487335205078 × 131072)
    floor (77658.5)     		ty = 77658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74814 / 77658 ti = "17/74814/77658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74814/77658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74814 ÷ 217
    74814 ÷ 131072     		x = 0.570785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77658 ÷ 217
    77658 ÷ 131072     		y = 0.592483520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570785522460938 × 2 - 1) × π
    0.141571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44475855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592483520507812 × 2 - 1) × π
    -0.184967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.581091097194321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44475855} λ = 0.44475855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581091097194321))-π/2
    2×atan(0.559287796184926)-π/2
    2×0.509945980222479-π/2
    1.01989196044496-1.57079632675     		φ = -0.55090437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44475855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.482788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55090437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.564495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74814 KachelY 77658 0.44475855 -0.55090437 25.482788 -31.564495
    Oben rechts KachelX + 1 74815 KachelY 77658 0.44480649 -0.55090437 25.485535 -31.564495
    Unten links KachelX 74814 KachelY + 1 77659 0.44475855 -0.55094521 25.482788 -31.566835
    Unten rechts KachelX + 1 74815 KachelY + 1 77659 0.44480649 -0.55094521 25.485535 -31.566835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55090437--0.55094521) × R
    4.08399999999309e-05 × 6371000     		dl = 260.19163999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55090437--0.55094521) × R
    4.08399999999309e-05 × 6371000     		dr = 260.19163999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44475855-0.44480649) × cos(-0.55090437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852051470841187 × 6371000     		do = 260.238450999889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44475855-0.44480649) × cos(-0.55094521) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852030092105384 × 6371000     		du = 260.231921383686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55090437)-sin(-0.55094521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852051470841187-0.852030092105384)×R²
    abs(0.44480649-0.44475855)×2.13787358024353e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13787358024353e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13787358024353e-05×40589641000000     		ar = 67711.0198902368m²