Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7481 / 7860
↖ ↑ ↗
← N 79.508662°
W138.905640°		 ← 111.22 m → N 79.508662°
W138.900147°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
N 79.507661°
W138.905640°		 ← 111.23 m →
12 372 m²		 N 79.507661°
W138.900147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114158630371094 y=0.119941711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114158630371094 × 216)
    floor (0.114158630371094 × 65536)
    floor (7481.5)     		tx = 7481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119941711425781 × 216)
    floor (0.119941711425781 × 65536)
    floor (7860.5)     		ty = 7860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7481 / 7860 ti = "16/7481/7860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7481/7860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7481 ÷ 216
    7481 ÷ 65536     		x = 0.114151000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7860 ÷ 216
    7860 ÷ 65536     		y = 0.11993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114151000976562 × 2 - 1) × π
    -0.771697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42436076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11993408203125 × 2 - 1) × π
    0.7601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38802459147272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42436076} λ = -2.42436076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38802459147272))-π/2
    2×atan(10.8919566135602)-π/2
    2×1.47924212624409-π/2
    2.95848425248819-1.57079632675     		φ = 1.38768793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42436076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.905640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38768793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.508662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7481 KachelY 7860 -2.42436076 1.38768793 -138.905640 79.508662
    Oben rechts KachelX + 1 7482 KachelY 7860 -2.42426489 1.38768793 -138.900147 79.508662
    Unten links KachelX 7481 KachelY + 1 7861 -2.42436076 1.38767047 -138.905640 79.507661
    Unten rechts KachelX + 1 7482 KachelY + 1 7861 -2.42426489 1.38767047 -138.900147 79.507661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38768793-1.38767047) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dl = 111.237660000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38768793-1.38767047) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dr = 111.237660000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42436076--2.42426489) × cos(1.38768793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182086880179552 × 6371000     		do = 111.216439491123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42436076--2.42426489) × cos(1.38767047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182104048263298 × 6371000     		du = 111.22692554671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38768793)-sin(1.38767047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182086880179552-0.182104048263298)×R²
    abs(-2.42426489--2.42436076)×1.71680837467436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71680837467436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71680837467436e-05×40589641000000     		ar = 12372.0397049755m²