Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74809 / 55670
↖ ↑ ↗
← N 26.140645°
E 25.469055°		 ← 274.19 m → N 26.140645°
E 25.471802°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.138179°
E 25.469055°		 ← 274.19 m →
75 167 m²		 N 26.138179°
E 25.471802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570751190185547 y=0.424732208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570751190185547 × 217)
    floor (0.570751190185547 × 131072)
    floor (74809.5)     		tx = 74809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424732208251953 × 217)
    floor (0.424732208251953 × 131072)
    floor (55670.5)     		ty = 55670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74809 / 55670 ti = "17/74809/55670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74809/55670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74809 ÷ 217
    74809 ÷ 131072     		x = 0.570747375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55670 ÷ 217
    55670 ÷ 131072     		y = 0.424728393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570747375488281 × 2 - 1) × π
    0.141494750976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.44451887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424728393554688 × 2 - 1) × π
    0.150543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472945451651474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44451887} λ = 0.44451887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472945451651474))-π/2
    2×atan(1.60471384609862)-π/2
    2×1.01351832544069-π/2
    2.02703665088137-1.57079632675     		φ = 0.45624032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44451887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.469055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45624032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.140645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74809 KachelY 55670 0.44451887 0.45624032 25.469055 26.140645
    Oben rechts KachelX + 1 74810 KachelY 55670 0.44456681 0.45624032 25.471802 26.140645
    Unten links KachelX 74809 KachelY + 1 55671 0.44451887 0.45619729 25.469055 26.138179
    Unten rechts KachelX + 1 74810 KachelY + 1 55671 0.44456681 0.45619729 25.471802 26.138179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45624032-0.45619729) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45624032-0.45619729) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44451887-0.44456681) × cos(0.45624032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897715263481792 × 6371000     		do = 274.185348658042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44451887-0.44456681) × cos(0.45619729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897734220640557 × 6371000     		du = 274.191138662286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45624032)-sin(0.45619729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897715263481792-0.897734220640557)×R²
    abs(0.44456681-0.44451887)×1.89571587652093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89571587652093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89571587652093e-05×40589641000000     		ar = 75167.0975261017m²