Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74806 / 54670
↖ ↑ ↗
← N 28.579698°
E 25.460815°		 ← 268.21 m → N 28.579698°
E 25.463562°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
N 28.577286°
E 25.460815°		 ← 268.22 m →
71 940 m²		 N 28.577286°
E 25.463562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570728302001953 y=0.417102813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570728302001953 × 217)
    floor (0.570728302001953 × 131072)
    floor (74806.5)     		tx = 74806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417102813720703 × 217)
    floor (0.417102813720703 × 131072)
    floor (54670.5)     		ty = 54670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74806 / 54670 ti = "17/74806/54670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74806/54670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74806 ÷ 217
    74806 ÷ 131072     		x = 0.570724487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54670 ÷ 217
    54670 ÷ 131072     		y = 0.417098999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570724487304688 × 2 - 1) × π
    0.141448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44437506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417098999023438 × 2 - 1) × π
    0.165802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.52088235127153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44437506} λ = 0.44437506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52088235127153))-π/2
    2×atan(1.68351244389304)-π/2
    2×1.03480307800163-π/2
    2.06960615600325-1.57079632675     		φ = 0.49880983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44437506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.460815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49880983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.579698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74806 KachelY 54670 0.44437506 0.49880983 25.460815 28.579698
    Oben rechts KachelX + 1 74807 KachelY 54670 0.44442300 0.49880983 25.463562 28.579698
    Unten links KachelX 74806 KachelY + 1 54671 0.44437506 0.49876773 25.460815 28.577286
    Unten rechts KachelX + 1 74807 KachelY + 1 54671 0.44442300 0.49876773 25.463562 28.577286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49880983-0.49876773) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49880983-0.49876773) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44437506-0.44442300) × cos(0.49880983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878152538099137 × 6371000     		do = 268.210388781942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44437506-0.44442300) × cos(0.49876773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878172677149509 × 6371000     		du = 268.216539766304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49880983)-sin(0.49876773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878152538099137-0.878172677149509)×R²
    abs(0.44442300-0.44437506)×2.01390503716814e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01390503716814e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01390503716814e-05×40589641000000     		ar = 71939.9740061224m²