Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74800 / 54703
↖ ↑ ↗
← N 28.500075°
E 25.444336°		 ← 268.36 m → N 28.500075°
E 25.447082°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.497661°
E 25.444336°		 ← 268.36 m →
72 031 m²		 N 28.497661°
E 25.447082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570682525634766 y=0.417354583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570682525634766 × 217)
    floor (0.570682525634766 × 131072)
    floor (74800.5)     		tx = 74800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417354583740234 × 217)
    floor (0.417354583740234 × 131072)
    floor (54703.5)     		ty = 54703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74800 / 54703 ti = "17/74800/54703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74800/54703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74800 ÷ 217
    74800 ÷ 131072     		x = 0.5706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54703 ÷ 217
    54703 ÷ 131072     		y = 0.417350769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5706787109375 × 2 - 1) × π
    0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417350769042969 × 2 - 1) × π
    0.165298461914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.519300433584068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44408744} λ = 0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519300433584068))-π/2
    2×atan(1.68085137113495)-π/2
    2×1.03410823282671-π/2
    2.06821646565342-1.57079632675     		φ = 0.49742014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49742014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.500075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74800 KachelY 54703 0.44408744 0.49742014 25.444336 28.500075
    Oben rechts KachelX + 1 74801 KachelY 54703 0.44413537 0.49742014 25.447082 28.500075
    Unten links KachelX 74800 KachelY + 1 54704 0.44408744 0.49737801 25.444336 28.497661
    Unten rechts KachelX + 1 74801 KachelY + 1 54704 0.44413537 0.49737801 25.447082 28.497661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49742014-0.49737801) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49742014-0.49737801) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44408744-0.44413537) × cos(0.49742014) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878816490836695 × 6371000     		do = 268.357187639223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44408744-0.44413537) × cos(0.49737801) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878836592803586 × 6371000     		du = 268.36332601664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49742014)-sin(0.49737801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878816490836695-0.878836592803586)×R²
    abs(0.44413537-0.44408744)×2.01019668916169e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01019668916169e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01019668916169e-05×40589641000000     		ar = 72030.6382688122m²