Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7480 / 7288
↖ ↑ ↗
← S 80.118564°
E148.710937°		 ← 838.57 m → S 80.118564°
E148.754883°		 →
↑
838.30 m
↓
↑
838.30 m
↓
S 80.126103°
E148.710937°		 ← 837.94 m →
702 705 m²		 S 80.126103°
E148.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91314697265625 y=0.88970947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91314697265625 × 213)
    floor (0.91314697265625 × 8192)
    floor (7480.5)     		tx = 7480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88970947265625 × 213)
    floor (0.88970947265625 × 8192)
    floor (7288.5)     		ty = 7288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7480 / 7288 ti = "13/7480/7288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7480/7288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7480 ÷ 213
    7480 ÷ 8192     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7288 ÷ 213
    7288 ÷ 8192     		y = 0.8896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8896484375 × 2 - 1) × π
    -0.779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.44823333739551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44823333739551))-π/2
    2×atan(0.0864461728963008)-π/2
    2×0.086231797575893-π/2
    0.172463595151786-1.57079632675     		φ = -1.39833273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39833273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.118564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7480 KachelY 7288 2.59549549 -1.39833273 148.710937 -80.118564
    Oben rechts KachelX + 1 7481 KachelY 7288 2.59626248 -1.39833273 148.754883 -80.118564
    Unten links KachelX 7480 KachelY + 1 7289 2.59549549 -1.39846431 148.710937 -80.126103
    Unten rechts KachelX + 1 7481 KachelY + 1 7289 2.59626248 -1.39846431 148.754883 -80.126103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39833273--1.39846431) × R
    0.000131580000000131 × 6371000     		dl = 838.296180000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39833273--1.39846431) × R
    0.000131580000000131 × 6371000     		dr = 838.296180000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59626248) × cos(-1.39833273) × R
    0.000766990000000245 × 0.171609916673991 × 6371000     		do = 838.570706325185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59626248) × cos(-1.39846431) × R
    0.000766990000000245 × 0.171480287180818 × 6371000     		du = 837.937272676608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39833273)-sin(-1.39846431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171609916673991-0.171480287180818)×R²
    abs(2.59626248-2.59549549)×0.00012962949317305×R²
    0.000766990000000245×0.00012962949317305×6371000²
    0.000766990000000245×0.00012962949317305×40589641000000     		ar = 702705.11828093m²