Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 748 / 852
↖ ↑ ↗
← N 28.921631°
W 48.515625°		 ← 17.108 km → N 28.921631°
W 48.339844°		 →
↑
17.121 km
↓
↑
17.121 km
↓
N 28.767659°
W 48.515625°		 ← 17.134 km →
293.126 km²		 N 28.767659°
W 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365478515625 y=0.416259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365478515625 × 211)
    floor (0.365478515625 × 2048)
    floor (748.5)     		tx = 748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416259765625 × 211)
    floor (0.416259765625 × 2048)
    floor (852.5)     		ty = 852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 748 / 852 ti = "11/748/852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/748/852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 748 ÷ 211
    748 ÷ 2048     		x = 0.365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 852 ÷ 211
    852 ÷ 2048     		y = 0.416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365234375 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416015625 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84675739} λ = -0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527689391017578))-π/2
    2×atan(1.69501127210133)-π/2
    2×1.03778700885387-π/2
    2.07557401770774-1.57079632675     		φ = 0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 748 KachelY 852 -0.84675739 0.50477769 -48.515625 28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 749 KachelY 852 -0.84368943 0.50477769 -48.339844 28.921631
    Unten links KachelX 748 KachelY + 1 853 -0.84675739 0.50209037 -48.515625 28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 749 KachelY + 1 853 -0.84368943 0.50209037 -48.339844 28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50477769-0.50209037) × R
    0.00268731999999994 × 6371000     		dl = 17120.9157199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50477769-0.50209037) × R
    0.00268731999999994 × 6371000     		dr = 17120.9157199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84675739--0.84368943) × cos(0.50477769) × R
    0.00306796000000009 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 17108.2386364064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84675739--0.84368943) × cos(0.50209037) × R
    0.00306796000000009 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 17133.5792178359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50477769)-sin(0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.876578468494909)×R²
    abs(-0.84368943--0.84675739)×0.00129646046385645×R²
    0.00306796000000009×0.00129646046385645×6371000²
    0.00306796000000009×0.00129646046385645×40589641000000     		ar = 293125815.196332m²