Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74797 / 55933
↖ ↑ ↗
← N 25.490389°
E 25.436096°		 ← 275.64 m → N 25.490389°
E 25.438843°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.487910°
E 25.436096°		 ← 275.64 m →
75 987 m²		 N 25.487910°
E 25.438843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570659637451172 y=0.426738739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570659637451172 × 217)
    floor (0.570659637451172 × 131072)
    floor (74797.5)     		tx = 74797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426738739013672 × 217)
    floor (0.426738739013672 × 131072)
    floor (55933.5)     		ty = 55933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74797 / 55933 ti = "17/74797/55933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74797/55933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74797 ÷ 217
    74797 ÷ 131072     		x = 0.570655822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55933 ÷ 217
    55933 ÷ 131072     		y = 0.426734924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570655822753906 × 2 - 1) × π
    0.141311645507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44394363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426734924316406 × 2 - 1) × π
    0.146530151367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.460338047051399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44394363} λ = 0.44394363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460338047051399))-π/2
    2×atan(1.58460956705518)-π/2
    2×1.00784377186934-π/2
    2.01568754373867-1.57079632675     		φ = 0.44489122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44394363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.436096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44489122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.490389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74797 KachelY 55933 0.44394363 0.44489122 25.436096 25.490389
    Oben rechts KachelX + 1 74798 KachelY 55933 0.44399156 0.44489122 25.438843 25.490389
    Unten links KachelX 74797 KachelY + 1 55934 0.44394363 0.44484795 25.436096 25.487910
    Unten rechts KachelX + 1 74798 KachelY + 1 55934 0.44399156 0.44484795 25.438843 25.487910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44489122-0.44484795) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44489122-0.44484795) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44394363-0.44399156) × cos(0.44489122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902657485263923 × 6371000     		do = 275.637322095055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44394363-0.44399156) × cos(0.44484795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90267610608276 × 6371000     		du = 275.643008186096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44489122)-sin(0.44484795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902657485263923-0.90267610608276)×R²
    abs(0.44399156-0.44394363)×1.86208188373005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86208188373005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86208188373005e-05×40589641000000     		ar = 75986.5981154747m²