Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74796 / 55935
↖ ↑ ↗
← N 25.485430°
E 25.433350°		 ← 275.71 m → N 25.485430°
E 25.436096°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.482951°
E 25.433350°		 ← 275.71 m →
76 006 m²		 N 25.482951°
E 25.436096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570652008056641 y=0.426753997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570652008056641 × 217)
    floor (0.570652008056641 × 131072)
    floor (74796.5)     		tx = 74796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426753997802734 × 217)
    floor (0.426753997802734 × 131072)
    floor (55935.5)     		ty = 55935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74796 / 55935 ti = "17/74796/55935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74796/55935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74796 ÷ 217
    74796 ÷ 131072     		x = 0.570648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55935 ÷ 217
    55935 ÷ 131072     		y = 0.426750183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570648193359375 × 2 - 1) × π
    0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426750183105469 × 2 - 1) × π
    0.146499633789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.460242173252159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44389569} λ = 0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460242173252159))-π/2
    2×atan(1.58445765179813)-π/2
    2×1.00780050037538-π/2
    2.01560100075075-1.57079632675     		φ = 0.44480467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44480467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.485430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74796 KachelY 55935 0.44389569 0.44480467 25.433350 25.485430
    Oben rechts KachelX + 1 74797 KachelY 55935 0.44394363 0.44480467 25.436096 25.485430
    Unten links KachelX 74796 KachelY + 1 55936 0.44389569 0.44476140 25.433350 25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 74797 KachelY + 1 55936 0.44394363 0.44476140 25.436096 25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44480467-0.44476140) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dl = 275.673170000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44480467-0.44476140) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dr = 275.673170000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44389569-0.44394363) × cos(0.44480467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902694729514339 × 6371000     		do = 275.706205755836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44389569-0.44394363) × cos(0.44476140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 275.711892000695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44480467)-sin(0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902694729514339-0.902713346952603)×R²
    abs(0.44394363-0.44389569)×1.86174382638127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86174382638127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86174382638127e-05×40589641000000     		ar = 76005.5875138753m²