Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74795 / 54736
↖ ↑ ↗
← N 28.420391°
E 25.430603°		 ← 268.62 m → N 28.420391°
E 25.433350°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
N 28.417976°
E 25.430603°		 ← 268.62 m →
72 151 m²		 N 28.417976°
E 25.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570644378662109 y=0.417606353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570644378662109 × 217)
    floor (0.570644378662109 × 131072)
    floor (74795.5)     		tx = 74795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417606353759766 × 217)
    floor (0.417606353759766 × 131072)
    floor (54736.5)     		ty = 54736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74795 / 54736 ti = "17/74795/54736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74795/54736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74795 ÷ 217
    74795 ÷ 131072     		x = 0.570640563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54736 ÷ 217
    54736 ÷ 131072     		y = 0.4176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570640563964844 × 2 - 1) × π
    0.141281127929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44384775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44384775} λ = 0.44384775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517718515896606))-π/2
    2×atan(1.67819450464706)-π/2
    2×1.03341286296567-π/2
    2.06682572593134-1.57079632675     		φ = 0.49602940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44384775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.430603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49602940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.420391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74795 KachelY 54736 0.44384775 0.49602940 25.430603 28.420391
    Oben rechts KachelX + 1 74796 KachelY 54736 0.44389569 0.49602940 25.433350 28.420391
    Unten links KachelX 74795 KachelY + 1 54737 0.44384775 0.49598724 25.430603 28.417976
    Unten rechts KachelX + 1 74796 KachelY + 1 54737 0.44389569 0.49598724 25.433350 28.417976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49602940-0.49598724) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49602940-0.49598724) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44384775-0.44389569) × cos(0.49602940) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879479246105049 × 6371000     		do = 268.615599556412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44384775-0.44389569) × cos(0.49598724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879499310837427 × 6371000     		du = 268.621727842146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49602940)-sin(0.49598724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879479246105049-0.879499310837427)×R²
    abs(0.44389569-0.44384775)×2.00647323772563e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00647323772563e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00647323772563e-05×40589641000000     		ar = 72151.3384017185m²