Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74792 / 54664
↖ ↑ ↗
← N 28.594169°
E 25.422363°		 ← 268.17 m → N 28.594169°
E 25.425110°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
N 28.591757°
E 25.422363°		 ← 268.18 m →
71 913 m²		 N 28.591757°
E 25.425110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570621490478516 y=0.417057037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570621490478516 × 217)
    floor (0.570621490478516 × 131072)
    floor (74792.5)     		tx = 74792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417057037353516 × 217)
    floor (0.417057037353516 × 131072)
    floor (54664.5)     		ty = 54664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74792 / 54664 ti = "17/74792/54664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74792/54664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74792 ÷ 217
    74792 ÷ 131072     		x = 0.57061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54664 ÷ 217
    54664 ÷ 131072     		y = 0.41705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57061767578125 × 2 - 1) × π
    0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41705322265625 × 2 - 1) × π
    0.1658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.52116997266925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44370394} λ = 0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52116997266925))-π/2
    2×atan(1.68399672773709)-π/2
    2×1.03492935704282-π/2
    2.06985871408564-1.57079632675     		φ = 0.49906239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49906239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.594169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74792 KachelY 54664 0.44370394 0.49906239 25.422363 28.594169
    Oben rechts KachelX + 1 74793 KachelY 54664 0.44375188 0.49906239 25.425110 28.594169
    Unten links KachelX 74792 KachelY + 1 54665 0.44370394 0.49902030 25.422363 28.591757
    Unten rechts KachelX + 1 74793 KachelY + 1 54665 0.44375188 0.49902030 25.425110 28.591757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49906239-0.49902030) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49906239-0.49902030) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44370394-0.44375188) × cos(0.49906239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878031690256884 × 6371000     		do = 268.173478739984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44370394-0.44375188) × cos(0.49902030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878051833858264 × 6371000     		du = 268.179631114342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49906239)-sin(0.49902030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878031690256884-0.878051833858264)×R²
    abs(0.44375188-0.44370394)×2.01436013801404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01436013801404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01436013801404e-05×40589641000000     		ar = 71912.9886859211m²