Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74792 / 53883
↖ ↑ ↗
← N 30.460512°
E 25.422363°		 ← 263.27 m → N 30.460512°
E 25.425110°		 →
↑
263.25 m
↓
↑
263.25 m
↓
N 30.458144°
E 25.422363°		 ← 263.28 m →
69 307 m²		 N 30.458144°
E 25.425110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570621490478516 y=0.411098480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570621490478516 × 217)
    floor (0.570621490478516 × 131072)
    floor (74792.5)     		tx = 74792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411098480224609 × 217)
    floor (0.411098480224609 × 131072)
    floor (53883.5)     		ty = 53883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74792 / 53883 ti = "17/74792/53883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74792/53883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74792 ÷ 217
    74792 ÷ 131072     		x = 0.57061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53883 ÷ 217
    53883 ÷ 131072     		y = 0.411094665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57061767578125 × 2 - 1) × π
    0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411094665527344 × 2 - 1) × π
    0.177810668945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.558608691272514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44370394} λ = 0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558608691272514))-π/2
    2×atan(1.74823846800529)-π/2
    2×1.0512162754225-π/2
    2.102432550845-1.57079632675     		φ = 0.53163622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53163622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.460512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74792 KachelY 53883 0.44370394 0.53163622 25.422363 30.460512
    Oben rechts KachelX + 1 74793 KachelY 53883 0.44375188 0.53163622 25.425110 30.460512
    Unten links KachelX 74792 KachelY + 1 53884 0.44370394 0.53159490 25.422363 30.458144
    Unten rechts KachelX + 1 74793 KachelY + 1 53884 0.44375188 0.53159490 25.425110 30.458144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53163622-0.53159490) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dl = 263.249720000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53163622-0.53159490) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dr = 263.249720000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44370394-0.44375188) × cos(0.53163622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861978752160156 × 6371000     		do = 263.27049824262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44370394-0.44375188) × cos(0.53159490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861999698367162 × 6371000     		du = 263.276895753395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53163622)-sin(0.53159490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861978752160156-0.861999698367162)×R²
    abs(0.44375188-0.44370394)×2.09462070055455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09462070055455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09462070055455e-05×40589641000000     		ar = 69306.7270279548m²