Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74791 / 55911
↖ ↑ ↗
← N 25.544919°
E 25.419617°		 ← 275.51 m → N 25.544919°
E 25.422363°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 25.542441°
E 25.419617°		 ← 275.52 m →
75 917 m²		 N 25.542441°
E 25.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570613861083984 y=0.426570892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570613861083984 × 217)
    floor (0.570613861083984 × 131072)
    floor (74791.5)     		tx = 74791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426570892333984 × 217)
    floor (0.426570892333984 × 131072)
    floor (55911.5)     		ty = 55911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74791 / 55911 ti = "17/74791/55911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74791/55911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74791 ÷ 217
    74791 ÷ 131072     		x = 0.570610046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55911 ÷ 217
    55911 ÷ 131072     		y = 0.426567077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570610046386719 × 2 - 1) × π
    0.141220092773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44365601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426567077636719 × 2 - 1) × π
    0.146865844726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.46139265884304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44365601} λ = 0.44365601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46139265884304))-π/2
    2×atan(1.58628159650576)-π/2
    2×1.00831964041446-π/2
    2.01663928082893-1.57079632675     		φ = 0.44584295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44365601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.419617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44584295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.544919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74791 KachelY 55911 0.44365601 0.44584295 25.419617 25.544919
    Oben rechts KachelX + 1 74792 KachelY 55911 0.44370394 0.44584295 25.422363 25.544919
    Unten links KachelX 74791 KachelY + 1 55912 0.44365601 0.44579970 25.419617 25.542441
    Unten rechts KachelX + 1 74792 KachelY + 1 55912 0.44370394 0.44579970 25.422363 25.542441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44584295-0.44579970) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44584295-0.44579970) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44365601-0.44370394) × cos(0.44584295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902247490287284 × 6371000     		do = 275.512125196699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44365601-0.44370394) × cos(0.44579970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902266139647135 × 6371000     		du = 275.517820003081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44584295)-sin(0.44579970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902247490287284-0.902266139647135)×R²
    abs(0.44370394-0.44365601)×1.86493598510751e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86493598510751e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86493598510751e-05×40589641000000     		ar = 75916.9797730986m²