Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7479 / 7401
↖ ↑ ↗
← S 80.935352°
E148.666992°		 ← 769.86 m → S 80.935352°
E148.710937°		 →
↑
769.55 m
↓
↑
769.55 m
↓
S 80.942273°
E148.666992°		 ← 769.28 m →
592 225 m²		 S 80.942273°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91302490234375 y=0.90350341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91302490234375 × 213)
    floor (0.91302490234375 × 8192)
    floor (7479.5)     		tx = 7479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90350341796875 × 213)
    floor (0.90350341796875 × 8192)
    floor (7401.5)     		ty = 7401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7479 / 7401 ti = "13/7479/7401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7479/7401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7479 ÷ 213
    7479 ÷ 8192     		x = 0.9129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7401 ÷ 213
    7401 ÷ 8192     		y = 0.9034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9129638671875 × 2 - 1) × π
    0.825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59472850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9034423828125 × 2 - 1) × π
    -0.806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53490325190857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59472850} λ = 2.59472850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53490325190857))-π/2
    2×atan(0.0792693880557584)-π/2
    2×0.0791039779118858-π/2
    0.158207955823772-1.57079632675     		φ = -1.41258837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59472850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41258837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.935352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7479 KachelY 7401 2.59472850 -1.41258837 148.666992 -80.935352
    Oben rechts KachelX + 1 7480 KachelY 7401 2.59549549 -1.41258837 148.710937 -80.935352
    Unten links KachelX 7479 KachelY + 1 7402 2.59472850 -1.41270916 148.666992 -80.942273
    Unten rechts KachelX + 1 7480 KachelY + 1 7402 2.59549549 -1.41270916 148.710937 -80.942273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41258837--1.41270916) × R
    0.000120789999999982 × 6371000     		dl = 769.553089999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41258837--1.41270916) × R
    0.000120789999999982 × 6371000     		dr = 769.553089999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59472850-2.59549549) × cos(-1.41258837) × R
    0.000766989999999801 × 0.157548797797418 × 6371000     		do = 769.861143284451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59472850-2.59549549) × cos(-1.41270916) × R
    0.000766989999999801 × 0.157429515170146 × 6371000     		du = 769.278269526671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41258837)-sin(-1.41270916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157548797797418-0.157429515170146)×R²
    abs(2.59549549-2.59472850)×0.000119282627272455×R²
    0.000766989999999801×0.000119282627272455×6371000²
    0.000766989999999801×0.000119282627272455×40589641000000     		ar = 592224.746255574m²