Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7479 / 7287
↖ ↑ ↗
← S 80.111020°
E148.666992°		 ← 839.20 m → S 80.111020°
E148.710937°		 →
↑
838.87 m
↓
↑
838.87 m
↓
S 80.118564°
E148.666992°		 ← 838.57 m →
703 717 m²		 S 80.118564°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91302490234375 y=0.88958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91302490234375 × 213)
    floor (0.91302490234375 × 8192)
    floor (7479.5)     		tx = 7479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88958740234375 × 213)
    floor (0.88958740234375 × 8192)
    floor (7287.5)     		ty = 7287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7479 / 7287 ti = "13/7479/7287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7479/7287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7479 ÷ 213
    7479 ÷ 8192     		x = 0.9129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7287 ÷ 213
    7287 ÷ 8192     		y = 0.8895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9129638671875 × 2 - 1) × π
    0.825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59472850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.44746634700159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59472850} λ = 2.59472850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44746634700159))-π/2
    2×atan(0.0865125017140348)-π/2
    2×0.0862976340241526-π/2
    0.172595268048305-1.57079632675     		φ = -1.39820106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59472850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39820106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.111020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7479 KachelY 7287 2.59472850 -1.39820106 148.666992 -80.111020
    Oben rechts KachelX + 1 7480 KachelY 7287 2.59549549 -1.39820106 148.710937 -80.111020
    Unten links KachelX 7479 KachelY + 1 7288 2.59472850 -1.39833273 148.666992 -80.118564
    Unten rechts KachelX + 1 7480 KachelY + 1 7288 2.59549549 -1.39833273 148.710937 -80.118564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39820106--1.39833273) × R
    0.000131669999999806 × 6371000     		dl = 838.869569998765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39820106--1.39833273) × R
    0.000131669999999806 × 6371000     		dr = 838.869569998765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59472850-2.59549549) × cos(-1.39820106) × R
    0.000766989999999801 × 0.171739631858845 × 6371000     		do = 839.204558705099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59472850-2.59549549) × cos(-1.39833273) × R
    0.000766989999999801 × 0.171609916673991 × 6371000     		du = 838.570706324699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39820106)-sin(-1.39833273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171739631858845-0.171609916673991)×R²
    abs(2.59549549-2.59472850)×0.000129715184853829×R²
    0.000766989999999801×0.000129715184853829×6371000²
    0.000766989999999801×0.000129715184853829×40589641000000     		ar = 703717.308582298m²