Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7479 / 4462
↖ ↑ ↗
← N 63.094759°
W 15.666504°		 ← 1 105.62 m → N 63.094759°
W 15.644531°		 →
↑
1 105.81 m
↓
↑
1 105.81 m
↓
N 63.084814°
W 15.666504°		 ← 1 106 m →
1 222 823 m²		 N 63.084814°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456512451171875 y=0.272369384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456512451171875 × 214)
    floor (0.456512451171875 × 16384)
    floor (7479.5)     		tx = 7479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272369384765625 × 214)
    floor (0.272369384765625 × 16384)
    floor (4462.5)     		ty = 4462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7479 / 4462 ti = "14/7479/4462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7479/4462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7479 ÷ 214
    7479 ÷ 16384     		x = 0.45648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4462 ÷ 214
    4462 ÷ 16384     		y = 0.2723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27343208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2723388671875 × 2 - 1) × π
    0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27343208} λ = -0.27343208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43043708466248))-π/2
    2×atan(4.18052603646292)-π/2
    2×1.33600380134653-π/2
    2.67200760269306-1.57079632675     		φ = 1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27343208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.666504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7479 KachelY 4462 -0.27343208 1.10121128 -15.666504 63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 7480 KachelY 4462 -0.27304858 1.10121128 -15.644531 63.094759
    Unten links KachelX 7479 KachelY + 1 4463 -0.27343208 1.10103771 -15.666504 63.084814
    Unten rechts KachelX + 1 7480 KachelY + 1 4463 -0.27304858 1.10103771 -15.644531 63.084814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10121128-1.10103771) × R
    0.000173570000000067 × 6371000     		dl = 1105.81447000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10121128-1.10103771) × R
    0.000173570000000067 × 6371000     		dr = 1105.81447000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27343208--0.27304858) × cos(1.10121128) × R
    0.000383500000000037 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 1105.62331561251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27343208--0.27304858) × cos(1.10103771) × R
    0.000383500000000037 × 0.452671062576283 × 6371000     		du = 1106.00147476489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10121128)-sin(1.10103771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452671062576283)×R²
    abs(-0.27304858--0.27343208)×0.000154775295727716×R²
    0.000383500000000037×0.000154775295727716×6371000²
    0.000383500000000037×0.000154775295727716×40589641000000     		ar = 1222823.35077465m²