Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74789 / 55687
↖ ↑ ↗
← N 26.098721°
E 25.414123°		 ← 274.28 m → N 26.098721°
E 25.416870°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.096255°
E 25.414123°		 ← 274.29 m →
75 229 m²		 N 26.096255°
E 25.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570598602294922 y=0.424861907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570598602294922 × 217)
    floor (0.570598602294922 × 131072)
    floor (74789.5)     		tx = 74789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424861907958984 × 217)
    floor (0.424861907958984 × 131072)
    floor (55687.5)     		ty = 55687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74789 / 55687 ti = "17/74789/55687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74789/55687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74789 ÷ 217
    74789 ÷ 131072     		x = 0.570594787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55687 ÷ 217
    55687 ÷ 131072     		y = 0.424858093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570594787597656 × 2 - 1) × π
    0.141189575195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44356013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424858093261719 × 2 - 1) × π
    0.150283813476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.472130524357933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44356013} λ = 0.44356013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472130524357933))-π/2
    2×atan(1.60340665369284)-π/2
    2×1.01315247346568-π/2
    2.02630494693136-1.57079632675     		φ = 0.45550862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44356013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.414123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45550862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.098721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74789 KachelY 55687 0.44356013 0.45550862 25.414123 26.098721
    Oben rechts KachelX + 1 74790 KachelY 55687 0.44360807 0.45550862 25.416870 26.098721
    Unten links KachelX 74789 KachelY + 1 55688 0.44356013 0.45546557 25.414123 26.096255
    Unten rechts KachelX + 1 74790 KachelY + 1 55688 0.44360807 0.45546557 25.416870 26.096255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45550862-0.45546557) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45550862-0.45546557) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44356013-0.44360807) × cos(0.45550862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898037392678647 × 6371000     		do = 274.283735206684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44356013-0.44360807) × cos(0.45546557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89805633036504 × 6371000     		du = 274.289519263565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45550862)-sin(0.45546557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898037392678647-0.89805633036504)×R²
    abs(0.44360807-0.44356013)×1.89376863932722e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89376863932722e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89376863932722e-05×40589641000000     		ar = 75229.0184076209m²