Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74789 / 53877
↖ ↑ ↗
← N 30.474716°
E 25.414123°		 ← 263.23 m → N 30.474716°
E 25.416870°		 →
↑
263.25 m
↓
↑
263.25 m
↓
N 30.472348°
E 25.414123°		 ← 263.24 m →
69 297 m²		 N 30.472348°
E 25.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570598602294922 y=0.411052703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570598602294922 × 217)
    floor (0.570598602294922 × 131072)
    floor (74789.5)     		tx = 74789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411052703857422 × 217)
    floor (0.411052703857422 × 131072)
    floor (53877.5)     		ty = 53877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74789 / 53877 ti = "17/74789/53877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74789/53877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74789 ÷ 217
    74789 ÷ 131072     		x = 0.570594787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53877 ÷ 217
    53877 ÷ 131072     		y = 0.411048889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570594787597656 × 2 - 1) × π
    0.141189575195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44356013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411048889160156 × 2 - 1) × π
    0.177902221679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.558896312670235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44356013} λ = 0.44356013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558896312670235))-π/2
    2×atan(1.74874137111639)-π/2
    2×1.05134022815081-π/2
    2.10268045630162-1.57079632675     		φ = 0.53188413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44356013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.414123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53188413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.474716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74789 KachelY 53877 0.44356013 0.53188413 25.414123 30.474716
    Oben rechts KachelX + 1 74790 KachelY 53877 0.44360807 0.53188413 25.416870 30.474716
    Unten links KachelX 74789 KachelY + 1 53878 0.44356013 0.53184281 25.414123 30.472348
    Unten rechts KachelX + 1 74790 KachelY + 1 53878 0.44360807 0.53184281 25.416870 30.472348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53188413-0.53184281) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dl = 263.249720000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53188413-0.53184281) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dr = 263.249720000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44356013-0.44360807) × cos(0.53188413) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861853049085405 × 6371000     		do = 263.232105288298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44356013-0.44360807) × cos(0.53184281) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861874004121675 × 6371000     		du = 263.238505495758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53188413)-sin(0.53184281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861853049085405-0.861874004121675)×R²
    abs(0.44360807-0.44356013)×2.09550362700872e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09550362700872e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09550362700872e-05×40589641000000     		ar = 69296.6204483675m²