Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74788 / 55955
↖ ↑ ↗
← N 25.435834°
E 25.411377°		 ← 275.76 m → N 25.435834°
E 25.414123°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.433354°
E 25.411377°		 ← 275.77 m →
76 056 m²		 N 25.433354°
E 25.414123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570590972900391 y=0.426906585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570590972900391 × 217)
    floor (0.570590972900391 × 131072)
    floor (74788.5)     		tx = 74788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426906585693359 × 217)
    floor (0.426906585693359 × 131072)
    floor (55955.5)     		ty = 55955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74788 / 55955 ti = "17/74788/55955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74788/55955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74788 ÷ 217
    74788 ÷ 131072     		x = 0.570587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55955 ÷ 217
    55955 ÷ 131072     		y = 0.426902770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570587158203125 × 2 - 1) × π
    0.14117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44351220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426902770996094 × 2 - 1) × π
    0.146194458007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.459283435259758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44351220} λ = 0.44351220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459283435259758))-π/2
    2×atan(1.58293930001707)-π/2
    2×1.0073676872964-π/2
    2.0147353745928-1.57079632675     		φ = 0.44393905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44351220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44393905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.435834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74788 KachelY 55955 0.44351220 0.44393905 25.411377 25.435834
    Oben rechts KachelX + 1 74789 KachelY 55955 0.44356013 0.44393905 25.414123 25.435834
    Unten links KachelX 74788 KachelY + 1 55956 0.44351220 0.44389576 25.411377 25.433354
    Unten rechts KachelX + 1 74789 KachelY + 1 55956 0.44356013 0.44389576 25.414123 25.433354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44393905-0.44389576) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dl = 275.800590000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44393905-0.44389576) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dr = 275.800590000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44351220-0.44356013) × cos(0.44393905) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.9030668516026 × 6371000     		do = 275.762327030928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44351220-0.44356013) × cos(0.44389576) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.903085443811991 × 6371000     		du = 275.76800438573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44393905)-sin(0.44389576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9030668516026-0.903085443811991)×R²
    abs(0.44356013-0.44351220)×1.8592209391044e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.8592209391044e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.8592209391044e-05×40589641000000     		ar = 76056.1954157305m²