Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74787 / 53869
↖ ↑ ↗
← N 30.493651°
E 25.408630°		 ← 263.18 m → N 30.493651°
E 25.411377°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
N 30.491285°
E 25.408630°		 ← 263.19 m →
69 250 m²		 N 30.491285°
E 25.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570583343505859 y=0.410991668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570583343505859 × 217)
    floor (0.570583343505859 × 131072)
    floor (74787.5)     		tx = 74787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410991668701172 × 217)
    floor (0.410991668701172 × 131072)
    floor (53869.5)     		ty = 53869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74787 / 53869 ti = "17/74787/53869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74787/53869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74787 ÷ 217
    74787 ÷ 131072     		x = 0.570579528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53869 ÷ 217
    53869 ÷ 131072     		y = 0.410987854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570579528808594 × 2 - 1) × π
    0.141159057617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44346426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410987854003906 × 2 - 1) × π
    0.178024291992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.559279807867195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44346426} λ = 0.44346426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559279807867195))-π/2
    2×atan(1.74941213364182)-π/2
    2×1.05150547033054-π/2
    2.10301094066107-1.57079632675     		φ = 0.53221461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44346426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.408630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53221461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.493651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74787 KachelY 53869 0.44346426 0.53221461 25.408630 30.493651
    Oben rechts KachelX + 1 74788 KachelY 53869 0.44351220 0.53221461 25.411377 30.493651
    Unten links KachelX 74787 KachelY + 1 53870 0.44346426 0.53217331 25.408630 30.491285
    Unten rechts KachelX + 1 74788 KachelY + 1 53870 0.44351220 0.53217331 25.411377 30.491285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53221461-0.53217331) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dl = 263.122300000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53221461-0.53217331) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dr = 263.122300000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44346426-0.44351220) × cos(0.53221461) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861685396420466 × 6371000     		do = 263.180899849046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44346426-0.44351220) × cos(0.53217331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861706353076566 × 6371000     		du = 263.187300551244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53221461)-sin(0.53217331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861685396420466-0.861706353076566)×R²
    abs(0.44351220-0.44346426)×2.09566561000241e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09566561000241e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09566561000241e-05×40589641000000     		ar = 69249.6057780234m²