Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74785 / 53870
↖ ↑ ↗
← N 30.491285°
E 25.403137°		 ← 263.19 m → N 30.491285°
E 25.405884°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
N 30.488918°
E 25.403137°		 ← 263.19 m →
69 268 m²		 N 30.488918°
E 25.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570568084716797 y=0.410999298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570568084716797 × 217)
    floor (0.570568084716797 × 131072)
    floor (74785.5)     		tx = 74785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410999298095703 × 217)
    floor (0.410999298095703 × 131072)
    floor (53870.5)     		ty = 53870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74785 / 53870 ti = "17/74785/53870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74785/53870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74785 ÷ 217
    74785 ÷ 131072     		x = 0.570564270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53870 ÷ 217
    53870 ÷ 131072     		y = 0.410995483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570564270019531 × 2 - 1) × π
    0.141128540039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44336838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410995483398438 × 2 - 1) × π
    0.178009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.559231870967575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44336838} λ = 0.44336838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559231870967575))-π/2
    2×atan(1.74932827425797)-π/2
    2×1.05148481681621-π/2
    2.10296963363243-1.57079632675     		φ = 0.53217331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44336838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.403137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53217331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.491285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74785 KachelY 53870 0.44336838 0.53217331 25.403137 30.491285
    Oben rechts KachelX + 1 74786 KachelY 53870 0.44341632 0.53217331 25.405884 30.491285
    Unten links KachelX 74785 KachelY + 1 53871 0.44336838 0.53213200 25.403137 30.488918
    Unten rechts KachelX + 1 74786 KachelY + 1 53871 0.44341632 0.53213200 25.405884 30.488918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53217331-0.53213200) × R
    4.13099999999611e-05 × 6371000     		dl = 263.186009999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53217331-0.53213200) × R
    4.13099999999611e-05 × 6371000     		dr = 263.186009999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44336838-0.44341632) × cos(0.53217331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861706353076566 × 6371000     		do = 263.187300550939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44336838-0.44341632) × cos(0.53213200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861727313336579 × 6371000     		du = 263.193702353864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53217331)-sin(0.53213200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861706353076566-0.861727313336579)×R²
    abs(0.44341632-0.44336838)×2.0960260013192e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0960260013192e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0960260013192e-05×40589641000000     		ar = 69268.0579569579m²