Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74782 / 54634
↖ ↑ ↗
← N 28.666491°
E 25.394897°		 ← 267.99 m → N 28.666491°
E 25.397644°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
N 28.664081°
E 25.394897°		 ← 267.99 m →
71 829 m²		 N 28.664081°
E 25.397644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570545196533203 y=0.416828155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570545196533203 × 217)
    floor (0.570545196533203 × 131072)
    floor (74782.5)     		tx = 74782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416828155517578 × 217)
    floor (0.416828155517578 × 131072)
    floor (54634.5)     		ty = 54634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74782 / 54634 ti = "17/74782/54634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74782/54634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74782 ÷ 217
    74782 ÷ 131072     		x = 0.570541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54634 ÷ 217
    54634 ÷ 131072     		y = 0.416824340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570541381835938 × 2 - 1) × π
    0.141082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44322457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416824340820312 × 2 - 1) × π
    0.166351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.522608079657852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44322457} λ = 0.44322457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522608079657852))-π/2
    2×atan(1.68642023741545)-π/2
    2×1.03556049140706-π/2
    2.07112098281411-1.57079632675     		φ = 0.50032466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44322457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50032466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.666491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74782 KachelY 54634 0.44322457 0.50032466 25.394897 28.666491
    Oben rechts KachelX + 1 74783 KachelY 54634 0.44327251 0.50032466 25.397644 28.666491
    Unten links KachelX 74782 KachelY + 1 54635 0.44322457 0.50028259 25.394897 28.664081
    Unten rechts KachelX + 1 74783 KachelY + 1 54635 0.44327251 0.50028259 25.397644 28.664081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50032466-0.50028259) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50032466-0.50028259) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44322457-0.44327251) × cos(0.50032466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877426865347337 × 6371000     		do = 267.988749644725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44322457-0.44327251) × cos(0.50028259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877447045988619 × 6371000     		du = 267.994913332023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50032466)-sin(0.50028259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877426865347337-0.877447045988619)×R²
    abs(0.44327251-0.44322457)×2.01806412818417e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01806412818417e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01806412818417e-05×40589641000000     		ar = 71829.3065809179m²