Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74781 / 54633
↖ ↑ ↗
← N 28.668901°
E 25.392151°		 ← 267.93 m → N 28.668901°
E 25.394897°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
N 28.666491°
E 25.392151°		 ← 267.93 m →
71 796 m²		 N 28.666491°
E 25.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570537567138672 y=0.416820526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570537567138672 × 217)
    floor (0.570537567138672 × 131072)
    floor (74781.5)     		tx = 74781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416820526123047 × 217)
    floor (0.416820526123047 × 131072)
    floor (54633.5)     		ty = 54633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74781 / 54633 ti = "17/74781/54633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74781/54633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74781 ÷ 217
    74781 ÷ 131072     		x = 0.570533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54633 ÷ 217
    54633 ÷ 131072     		y = 0.416816711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570533752441406 × 2 - 1) × π
    0.141067504882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44317664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416816711425781 × 2 - 1) × π
    0.166366577148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.522656016557472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44317664} λ = 0.44317664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522656016557472))-π/2
    2×atan(1.68650108111077)-π/2
    2×1.03558152172707-π/2
    2.07116304345415-1.57079632675     		φ = 0.50036672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44317664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.392151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50036672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.668901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74781 KachelY 54633 0.44317664 0.50036672 25.392151 28.668901
    Oben rechts KachelX + 1 74782 KachelY 54633 0.44322457 0.50036672 25.394897 28.668901
    Unten links KachelX 74781 KachelY + 1 54634 0.44317664 0.50032466 25.392151 28.666491
    Unten rechts KachelX + 1 74782 KachelY + 1 54634 0.44322457 0.50032466 25.394897 28.666491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50036672-0.50032466) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dl = 267.96426000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50036672-0.50032466) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dr = 267.96426000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44317664-0.44322457) × cos(0.50036672) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877406687950584 × 6371000     		do = 267.926687368021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44317664-0.44322457) × cos(0.50032466) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877426865347337 × 6371000     		du = 267.932848778853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50036672)-sin(0.50032466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877406687950584-0.877426865347337)×R²
    abs(0.44322457-0.44317664)×2.01773967530849e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01773967530849e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01773967530849e-05×40589641000000     		ar = 71795.6020444932m²