Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7478 / 10653
↖ ↑ ↗
← S 47.472663°
W 15.688477°		 ← 1 651.47 m → S 47.472663°
W 15.666504°		 →
↑
1 651.30 m
↓
↑
1 651.30 m
↓
S 47.487513°
W 15.688477°		 ← 1 651 m →
2 726 688 m²		 S 47.487513°
W 15.666504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456451416015625 y=0.650238037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456451416015625 × 214)
    floor (0.456451416015625 × 16384)
    floor (7478.5)     		tx = 7478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650238037109375 × 214)
    floor (0.650238037109375 × 16384)
    floor (10653.5)     		ty = 10653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7478 / 10653 ti = "14/7478/10653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7478/10653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7478 ÷ 214
    7478 ÷ 16384     		x = 0.4564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10653 ÷ 214
    10653 ÷ 16384     		y = 0.65020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.3004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.943781679719666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27381557} λ = -0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943781679719666))-π/2
    2×atan(0.389153395682096)-π/2
    2×0.371121027533285-π/2
    0.74224205506657-1.57079632675     		φ = -0.82855427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82855427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.472663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7478 KachelY 10653 -0.27381557 -0.82855427 -15.688477 -47.472663
    Oben rechts KachelX + 1 7479 KachelY 10653 -0.27343208 -0.82855427 -15.666504 -47.472663
    Unten links KachelX 7478 KachelY + 1 10654 -0.27381557 -0.82881346 -15.688477 -47.487513
    Unten rechts KachelX + 1 7479 KachelY + 1 10654 -0.27343208 -0.82881346 -15.666504 -47.487513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82855427--0.82881346) × R
    0.000259189999999965 × 6371000     		dl = 1651.29948999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82855427--0.82881346) × R
    0.000259189999999965 × 6371000     		dr = 1651.29948999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27381557--0.27343208) × cos(-0.82855427) × R
    0.000383489999999986 × 0.675941903930099 × 6371000     		do = 1651.47125686272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27381557--0.27343208) × cos(-0.82881346) × R
    0.000383489999999986 × 0.675750869883859 × 6371000     		du = 1651.00451965555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82855427)-sin(-0.82881346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675941903930099-0.675750869883859)×R²
    abs(-0.27343208--0.27381557)×0.000191034046240657×R²
    0.000383489999999986×0.000191034046240657×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191034046240657×40589641000000     		ar = 2726688.29801573m²