Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7478 / 10651
↖ ↑ ↗
← S 47.442950°
W 15.688477°		 ← 1 652.40 m → S 47.442950°
W 15.666504°		 →
↑
1 652.19 m
↓
↑
1 652.19 m
↓
S 47.457808°
W 15.688477°		 ← 1 651.94 m →
2 729 703 m²		 S 47.457808°
W 15.666504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456451416015625 y=0.650115966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456451416015625 × 214)
    floor (0.456451416015625 × 16384)
    floor (7478.5)     		tx = 7478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650115966796875 × 214)
    floor (0.650115966796875 × 16384)
    floor (10651.5)     		ty = 10651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7478 / 10651 ti = "14/7478/10651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7478/10651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7478 ÷ 214
    7478 ÷ 16384     		x = 0.4564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10651 ÷ 214
    10651 ÷ 16384     		y = 0.65008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.3001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.943014689325745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27381557} λ = -0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943014689325745))-π/2
    2×atan(0.389451987092079)-π/2
    2×0.371380321269108-π/2
    0.742760642538216-1.57079632675     		φ = -0.82803568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82803568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.442950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7478 KachelY 10651 -0.27381557 -0.82803568 -15.688477 -47.442950
    Oben rechts KachelX + 1 7479 KachelY 10651 -0.27343208 -0.82803568 -15.666504 -47.442950
    Unten links KachelX 7478 KachelY + 1 10652 -0.27381557 -0.82829501 -15.688477 -47.457808
    Unten rechts KachelX + 1 7479 KachelY + 1 10652 -0.27343208 -0.82829501 -15.666504 -47.457808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82803568--0.82829501) × R
    0.000259330000000002 × 6371000     		dl = 1652.19143000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82803568--0.82829501) × R
    0.000259330000000002 × 6371000     		dr = 1652.19143000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27381557--0.27343208) × cos(-0.82803568) × R
    0.000383489999999986 × 0.676323990468436 × 6371000     		do = 1652.40477634424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27381557--0.27343208) × cos(-0.82829501) × R
    0.000383489999999986 × 0.676132944141508 × 6371000     		du = 1651.93800913272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82803568)-sin(-0.82829501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676323990468436-0.676132944141508)×R²
    abs(-0.27343208--0.27381557)×0.000191046326928124×R²
    0.000383489999999986×0.000191046326928124×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191046326928124×40589641000000     		ar = 2729703.43127272m²