Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74779 / 53768
↖ ↑ ↗
← N 30.732393°
E 25.386658°		 ← 262.53 m → N 30.732393°
E 25.389404°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
N 30.730032°
E 25.386658°		 ← 262.54 m →
68 929 m²		 N 30.730032°
E 25.389404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570522308349609 y=0.410221099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570522308349609 × 217)
    floor (0.570522308349609 × 131072)
    floor (74779.5)     		tx = 74779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410221099853516 × 217)
    floor (0.410221099853516 × 131072)
    floor (53768.5)     		ty = 53768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74779 / 53768 ti = "17/74779/53768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74779/53768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74779 ÷ 217
    74779 ÷ 131072     		x = 0.570518493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53768 ÷ 217
    53768 ÷ 131072     		y = 0.41021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570518493652344 × 2 - 1) × π
    0.141036987304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44308076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    0.1795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564121434728821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44308076} λ = 0.44308076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564121434728821))-π/2
    2×atan(1.75790267184323)-π/2
    2×1.05358888350271-π/2
    2.10717776700543-1.57079632675     		φ = 0.53638144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44308076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.386658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53638144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.732393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74779 KachelY 53768 0.44308076 0.53638144 25.386658 30.732393
    Oben rechts KachelX + 1 74780 KachelY 53768 0.44312870 0.53638144 25.389404 30.732393
    Unten links KachelX 74779 KachelY + 1 53769 0.44308076 0.53634023 25.386658 30.730032
    Unten rechts KachelX + 1 74780 KachelY + 1 53769 0.44312870 0.53634023 25.389404 30.730032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53638144-0.53634023) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53638144-0.53634023) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44308076-0.44312870) × cos(0.53638144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859563493835188 × 6371000     		do = 262.532816181425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44308076-0.44312870) × cos(0.53634023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859584552608825 × 6371000     		du = 262.539248072947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53638144)-sin(0.53634023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859563493835188-0.859584552608825)×R²
    abs(0.44312870-0.44308076)×2.10587736376722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10587736376722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10587736376722e-05×40589641000000     		ar = 68928.5490804297m²