Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74778 / 54106
↖ ↑ ↗
← N 29.931135°
E 25.383911°		 ← 264.63 m → N 29.931135°
E 25.386658°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 29.928755°
E 25.383911°		 ← 264.64 m →
70 037 m²		 N 29.928755°
E 25.386658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570514678955078 y=0.412799835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570514678955078 × 217)
    floor (0.570514678955078 × 131072)
    floor (74778.5)     		tx = 74778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412799835205078 × 217)
    floor (0.412799835205078 × 131072)
    floor (54106.5)     		ty = 54106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74778 / 54106 ti = "17/74778/54106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74778/54106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74778 ÷ 217
    74778 ÷ 131072     		x = 0.570510864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54106 ÷ 217
    54106 ÷ 131072     		y = 0.412796020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570510864257812 × 2 - 1) × π
    0.141021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44303283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412796020507812 × 2 - 1) × π
    0.174407958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.547918762657242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44303283} λ = 0.44303283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547918762657242))-π/2
    2×atan(1.72964945819439)-π/2
    2×1.04659658903591-π/2
    2.09319317807182-1.57079632675     		φ = 0.52239685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44303283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.383911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52239685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.931135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74778 KachelY 54106 0.44303283 0.52239685 25.383911 29.931135
    Oben rechts KachelX + 1 74779 KachelY 54106 0.44308076 0.52239685 25.386658 29.931135
    Unten links KachelX 74778 KachelY + 1 54107 0.44303283 0.52235531 25.383911 29.928755
    Unten rechts KachelX + 1 74779 KachelY + 1 54107 0.44308076 0.52235531 25.386658 29.928755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52239685-0.52235531) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52239685-0.52235531) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44303283-0.44308076) × cos(0.52239685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866625740897932 × 6371000     		do = 264.634595491009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44303283-0.44308076) × cos(0.52235531) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866646466896315 × 6371000     		du = 264.640924423948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52239685)-sin(0.52235531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866625740897932-0.866646466896315)×R²
    abs(0.44308076-0.44303283)×2.07259983824315e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07259983824315e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07259983824315e-05×40589641000000     		ar = 70036.7377974643m²