Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74777 / 54104
↖ ↑ ↗
← N 29.935895°
E 25.381165°		 ← 264.68 m → N 29.935895°
E 25.383911°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
N 29.933515°
E 25.381165°		 ← 264.68 m →
70 065 m²		 N 29.933515°
E 25.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570507049560547 y=0.412784576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570507049560547 × 217)
    floor (0.570507049560547 × 131072)
    floor (74777.5)     		tx = 74777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412784576416016 × 217)
    floor (0.412784576416016 × 131072)
    floor (54104.5)     		ty = 54104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74777 / 54104 ti = "17/74777/54104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74777/54104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74777 ÷ 217
    74777 ÷ 131072     		x = 0.570503234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54104 ÷ 217
    54104 ÷ 131072     		y = 0.41278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570503234863281 × 2 - 1) × π
    0.141006469726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.44298489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41278076171875 × 2 - 1) × π
    0.1744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.548014636456482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44298489} λ = 0.44298489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548014636456482))-π/2
    2×atan(1.72981529420884)-π/2
    2×1.04663813139334-π/2
    2.09327626278668-1.57079632675     		φ = 0.52247994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44298489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.381165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52247994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.935895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74777 KachelY 54104 0.44298489 0.52247994 25.381165 29.935895
    Oben rechts KachelX + 1 74778 KachelY 54104 0.44303283 0.52247994 25.383911 29.935895
    Unten links KachelX 74777 KachelY + 1 54105 0.44298489 0.52243839 25.381165 29.933515
    Unten rechts KachelX + 1 74778 KachelY + 1 54105 0.44303283 0.52243839 25.383911 29.933515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52247994-0.52243839) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52247994-0.52243839) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44298489-0.44303283) × cos(0.52247994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866584279424621 × 6371000     		do = 264.677144815458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44298489-0.44303283) × cos(0.52243839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866605013404125 × 6371000     		du = 264.683477506491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52247994)-sin(0.52243839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866584279424621-0.866605013404125)×R²
    abs(0.44303283-0.44298489)×2.07339795036399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07339795036399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07339795036399e-05×40589641000000     		ar = 70064.8618130322m²