Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74775 / 53769
↖ ↑ ↗
← N 30.730032°
E 25.375672°		 ← 262.48 m → N 30.730032°
E 25.378418°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
N 30.727671°
E 25.375672°		 ← 262.49 m →
68 899 m²		 N 30.727671°
E 25.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570491790771484 y=0.410228729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570491790771484 × 217)
    floor (0.570491790771484 × 131072)
    floor (74775.5)     		tx = 74775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410228729248047 × 217)
    floor (0.410228729248047 × 131072)
    floor (53769.5)     		ty = 53769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74775 / 53769 ti = "17/74775/53769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74775/53769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74775 ÷ 217
    74775 ÷ 131072     		x = 0.570487976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53769 ÷ 217
    53769 ÷ 131072     		y = 0.410224914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570487976074219 × 2 - 1) × π
    0.140975952148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44288902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410224914550781 × 2 - 1) × π
    0.179550170898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.564073497829201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44288902} λ = 0.44288902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564073497829201))-π/2
    2×atan(1.75781840545906)-π/2
    2×1.05356828084591-π/2
    2.10713656169182-1.57079632675     		φ = 0.53634023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44288902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.375672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53634023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.730032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74775 KachelY 53769 0.44288902 0.53634023 25.375672 30.730032
    Oben rechts KachelX + 1 74776 KachelY 53769 0.44293695 0.53634023 25.378418 30.730032
    Unten links KachelX 74775 KachelY + 1 53770 0.44288902 0.53629903 25.375672 30.727671
    Unten rechts KachelX + 1 74776 KachelY + 1 53770 0.44293695 0.53629903 25.378418 30.727671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53634023-0.53629903) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dl = 262.485199999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53634023-0.53629903) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dr = 262.485199999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44288902-0.44293695) × cos(0.53634023) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.859584552608825 × 6371000     		do = 262.484483941129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44288902-0.44293695) × cos(0.53629903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.85960560481308 × 6371000     		du = 262.490912484957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53634023)-sin(0.53629903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859584552608825-0.85960560481308)×R²
    abs(0.44293695-0.44288902)×2.10522042549677e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10522042549677e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10522042549677e-05×40589641000000     		ar = 68899.1359727992m²