Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74773 / 54647
↖ ↑ ↗
← N 28.635157°
E 25.370178°		 ← 268.07 m → N 28.635157°
E 25.372925°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
N 28.632747°
E 25.370178°		 ← 268.07 m →
71 851 m²		 N 28.632747°
E 25.372925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570476531982422 y=0.416927337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570476531982422 × 217)
    floor (0.570476531982422 × 131072)
    floor (74773.5)     		tx = 74773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416927337646484 × 217)
    floor (0.416927337646484 × 131072)
    floor (54647.5)     		ty = 54647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74773 / 54647 ti = "17/74773/54647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74773/54647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74773 ÷ 217
    74773 ÷ 131072     		x = 0.570472717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54647 ÷ 217
    54647 ÷ 131072     		y = 0.416923522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570472717285156 × 2 - 1) × π
    0.140945434570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44279314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416923522949219 × 2 - 1) × π
    0.166152954101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.521984899962791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44279314} λ = 0.44279314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521984899962791))-π/2
    2×atan(1.68536962196126)-π/2
    2×1.03528705324734-π/2
    2.07057410649467-1.57079632675     		φ = 0.49977778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44279314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.370178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49977778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.635157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74773 KachelY 54647 0.44279314 0.49977778 25.370178 28.635157
    Oben rechts KachelX + 1 74774 KachelY 54647 0.44284108 0.49977778 25.372925 28.635157
    Unten links KachelX 74773 KachelY + 1 54648 0.44279314 0.49973571 25.370178 28.632747
    Unten rechts KachelX + 1 74774 KachelY + 1 54648 0.44284108 0.49973571 25.372925 28.632747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49977778-0.49973571) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49977778-0.49973571) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44279314-0.44284108) × cos(0.49977778) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877689078164413 × 6371000     		do = 268.068836188418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44279314-0.44284108) × cos(0.49973571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877709238615274 × 6371000     		du = 268.074993709041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49977778)-sin(0.49973571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877689078164413-0.877709238615274)×R²
    abs(0.44284108-0.44279314)×2.0160450861062e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0160450861062e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0160450861062e-05×40589641000000     		ar = 71850.7711883114m²