Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74772 / 54639
↖ ↑ ↗
← N 28.654441°
E 25.367431°		 ← 268.02 m → N 28.654441°
E 25.370178°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
N 28.652031°
E 25.367431°		 ← 268.03 m →
71 838 m²		 N 28.652031°
E 25.370178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570468902587891 y=0.416866302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570468902587891 × 217)
    floor (0.570468902587891 × 131072)
    floor (74772.5)     		tx = 74772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416866302490234 × 217)
    floor (0.416866302490234 × 131072)
    floor (54639.5)     		ty = 54639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74772 / 54639 ti = "17/74772/54639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74772/54639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74772 ÷ 217
    74772 ÷ 131072     		x = 0.570465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54639 ÷ 217
    54639 ÷ 131072     		y = 0.416862487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570465087890625 × 2 - 1) × π
    0.14093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44274520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416862487792969 × 2 - 1) × π
    0.166275024414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.522368395159752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44274520} λ = 0.44274520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522368395159752))-π/2
    2×atan(1.68601607706468)-π/2
    2×1.03545533255326-π/2
    2.07091066510652-1.57079632675     		φ = 0.50011434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44274520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.367431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50011434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.654441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74772 KachelY 54639 0.44274520 0.50011434 25.367431 28.654441
    Oben rechts KachelX + 1 74773 KachelY 54639 0.44279314 0.50011434 25.370178 28.654441
    Unten links KachelX 74772 KachelY + 1 54640 0.44274520 0.50007227 25.367431 28.652031
    Unten rechts KachelX + 1 74773 KachelY + 1 54640 0.44279314 0.50007227 25.370178 28.652031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50011434-0.50007227) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50011434-0.50007227) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44274520-0.44279314) × cos(0.50011434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877527738637811 × 6371000     		do = 268.019558943804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44274520-0.44279314) × cos(0.50007227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877547911514942 × 6371000     		du = 268.02572025973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50011434)-sin(0.50007227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877527738637811-0.877547911514942)×R²
    abs(0.44279314-0.44274520)×2.01728771308529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01728771308529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01728771308529e-05×40589641000000     		ar = 71837.5640170779m²