Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74771 / 54640
↖ ↑ ↗
← N 28.652031°
E 25.364685°		 ← 267.97 m → N 28.652031°
E 25.367431°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
N 28.649620°
E 25.364685°		 ← 267.98 m →
71 824 m²		 N 28.649620°
E 25.367431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570461273193359 y=0.416873931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570461273193359 × 217)
    floor (0.570461273193359 × 131072)
    floor (74771.5)     		tx = 74771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416873931884766 × 217)
    floor (0.416873931884766 × 131072)
    floor (54640.5)     		ty = 54640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74771 / 54640 ti = "17/74771/54640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74771/54640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74771 ÷ 217
    74771 ÷ 131072     		x = 0.570457458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54640 ÷ 217
    54640 ÷ 131072     		y = 0.4168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570457458496094 × 2 - 1) × π
    0.140914916992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44269727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44269727} λ = 0.44269727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522320458260132))-π/2
    2×atan(1.68593525661839)-π/2
    2×1.03543429933194-π/2
    2.07086859866388-1.57079632675     		φ = 0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44269727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.364685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74771 KachelY 54640 0.44269727 0.50007227 25.364685 28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 74772 KachelY 54640 0.44274520 0.50007227 25.367431 28.652031
    Unten links KachelX 74771 KachelY + 1 54641 0.44269727 0.50003020 25.364685 28.649620
    Unten rechts KachelX + 1 74772 KachelY + 1 54641 0.44274520 0.50003020 25.367431 28.649620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50007227-0.50003020) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50007227-0.50003020) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44269727-0.44274520) × cos(0.50007227) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 267.969811682627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44269727-0.44274520) × cos(0.50003020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877568082838914 × 6371000     		du = 267.975971239063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50007227)-sin(0.50003020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.877568082838914)×R²
    abs(0.44274520-0.44269727)×2.01713239721402e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01713239721402e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01713239721402e-05×40589641000000     		ar = 71824.2301238511m²