Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7477 / 7963
↖ ↑ ↗
← N 79.405136°
W138.927613°		 ← 112.31 m → N 79.405136°
W138.922119°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
N 79.404126°
W138.927613°		 ← 112.32 m →
12 616 m²		 N 79.404126°
W138.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114097595214844 y=0.121513366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114097595214844 × 216)
    floor (0.114097595214844 × 65536)
    floor (7477.5)     		tx = 7477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121513366699219 × 216)
    floor (0.121513366699219 × 65536)
    floor (7963.5)     		ty = 7963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7477 / 7963 ti = "16/7477/7963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7477/7963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7477 ÷ 216
    7477 ÷ 65536     		x = 0.114089965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7963 ÷ 216
    7963 ÷ 65536     		y = 0.121505737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114089965820312 × 2 - 1) × π
    -0.771820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42474426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121505737304688 × 2 - 1) × π
    0.756988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37814959015099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42474426} λ = -2.42474426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37814959015099))-π/2
    2×atan(10.7849278519332)-π/2
    2×1.47833869359078-π/2
    2.95667738718157-1.57079632675     		φ = 1.38588106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42474426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.927613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38588106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.405136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7477 KachelY 7963 -2.42474426 1.38588106 -138.927613 79.405136
    Oben rechts KachelX + 1 7478 KachelY 7963 -2.42464838 1.38588106 -138.922119 79.405136
    Unten links KachelX 7477 KachelY + 1 7964 -2.42474426 1.38586343 -138.927613 79.404126
    Unten rechts KachelX + 1 7478 KachelY + 1 7964 -2.42464838 1.38586343 -138.922119 79.404126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38588106-1.38586343) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38588106-1.38586343) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42474426--2.42464838) × cos(1.38588106) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.183863245528871 × 6371000     		do = 112.313135649361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42474426--2.42464838) × cos(1.38586343) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.18388057494112 × 6371000     		du = 112.323721346481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38588106)-sin(1.38586343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183863245528871-0.18388057494112)×R²
    abs(-2.42464838--2.42474426)×1.73294122495782e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.73294122495782e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.73294122495782e-05×40589641000000     		ar = 12615.6878818116m²