Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7477 / 7927
↖ ↑ ↗
← N 67.646855°
W 97.855225°		 ← 464.61 m → N 67.646855°
W 97.844238°		 →
↑
464.64 m
↓
↑
464.64 m
↓
N 67.642677°
W 97.855225°		 ← 464.69 m →
215 893 m²		 N 67.642677°
W 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228195190429688 y=0.241928100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228195190429688 × 215)
    floor (0.228195190429688 × 32768)
    floor (7477.5)     		tx = 7477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241928100585938 × 215)
    floor (0.241928100585938 × 32768)
    floor (7927.5)     		ty = 7927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7477 / 7927 ti = "15/7477/7927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7477/7927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7477 ÷ 215
    7477 ÷ 32768     		x = 0.228179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7927 ÷ 215
    7927 ÷ 32768     		y = 0.241912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.54364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70789586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241912841796875 × 2 - 1) × π
    0.51617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62160944034726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70789586} λ = -1.70789586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62160944034726))-π/2
    2×atan(5.06122951201556)-π/2
    2×1.37572833700459-π/2
    2.75145667400918-1.57079632675     		φ = 1.18066035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70789586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.855225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18066035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.646855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7477 KachelY 7927 -1.70789586 1.18066035 -97.855225 67.646855
    Oben rechts KachelX + 1 7478 KachelY 7927 -1.70770411 1.18066035 -97.844238 67.646855
    Unten links KachelX 7477 KachelY + 1 7928 -1.70789586 1.18058742 -97.855225 67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 7478 KachelY + 1 7928 -1.70770411 1.18058742 -97.844238 67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18066035-1.18058742) × R
    7.29299999999711e-05 × 6371000     		dl = 464.637029999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18066035-1.18058742) × R
    7.29299999999711e-05 × 6371000     		dr = 464.637029999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70789586--1.70770411) × cos(1.18066035) × R
    0.000191749999999935 × 0.380314177777521 × 6371000     		do = 464.606726904341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70789586--1.70770411) × cos(1.18058742) × R
    0.000191749999999935 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 464.689125049031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18066035)-sin(1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380314177777521-0.380381626612921)×R²
    abs(-1.70770411--1.70789586)×6.74488353995528e-05×R²
    0.000191749999999935×6.74488353995528e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.74488353995528e-05×40589641000000     		ar = 215892.632417072m²