Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7477 / 5443
↖ ↑ ↗
← N 76.008127°
W 97.855225°		 ← 295.37 m → N 76.008127°
W 97.844238°		 →
↑
295.36 m
↓
↑
295.36 m
↓
N 76.005471°
W 97.855225°		 ← 295.43 m →
87 249 m²		 N 76.005471°
W 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228195190429688 y=0.166122436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228195190429688 × 215)
    floor (0.228195190429688 × 32768)
    floor (7477.5)     		tx = 7477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166122436523438 × 215)
    floor (0.166122436523438 × 32768)
    floor (5443.5)     		ty = 5443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7477 / 5443 ti = "15/7477/5443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7477/5443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7477 ÷ 215
    7477 ÷ 32768     		x = 0.228179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5443 ÷ 215
    5443 ÷ 32768     		y = 0.166107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.54364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70789586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166107177734375 × 2 - 1) × π
    0.66778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09791047497214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70789586} λ = -1.70789586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09791047497214))-π/2
    2×atan(8.14912431096107)-π/2
    2×1.44869419993944-π/2
    2.89738839987887-1.57079632675     		φ = 1.32659207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70789586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.855225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32659207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.008127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7477 KachelY 5443 -1.70789586 1.32659207 -97.855225 76.008127
    Oben rechts KachelX + 1 7478 KachelY 5443 -1.70770411 1.32659207 -97.844238 76.008127
    Unten links KachelX 7477 KachelY + 1 5444 -1.70789586 1.32654571 -97.855225 76.005471
    Unten rechts KachelX + 1 7478 KachelY + 1 5444 -1.70770411 1.32654571 -97.844238 76.005471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32659207-1.32654571) × R
    4.6360000000023e-05 × 6371000     		dl = 295.359560000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32659207-1.32654571) × R
    4.6360000000023e-05 × 6371000     		dr = 295.359560000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70789586--1.70770411) × cos(1.32659207) × R
    0.000191749999999935 × 0.241784267891471 × 6371000     		do = 295.373151688636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70789586--1.70770411) × cos(1.32654571) × R
    0.000191749999999935 × 0.241829252131835 × 6371000     		du = 295.428106202295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32659207)-sin(1.32654571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241784267891471-0.241829252131835)×R²
    abs(-1.70770411--1.70789586)×4.49842403635881e-05×R²
    0.000191749999999935×4.49842403635881e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.49842403635881e-05×40589641000000     		ar = 87249.3998047599m²