Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7477 / 3372
↖ ↑ ↗
← N 72.100944°
W 15.710449°		 ← 750.92 m → N 72.100944°
W 15.688477°		 →
↑
751.08 m
↓
↑
751.08 m
↓
N 72.094189°
W 15.710449°		 ← 751.19 m →
564 101 m²		 N 72.094189°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456390380859375 y=0.205841064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456390380859375 × 214)
    floor (0.456390380859375 × 16384)
    floor (7477.5)     		tx = 7477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205841064453125 × 214)
    floor (0.205841064453125 × 16384)
    floor (3372.5)     		ty = 3372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7477 / 3372 ti = "14/7477/3372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7477/3372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7477 ÷ 214
    7477 ÷ 16384     		x = 0.45635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3372 ÷ 214
    3372 ÷ 16384     		y = 0.205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.0872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27419907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205810546875 × 2 - 1) × π
    0.58837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84844684934937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27419907} λ = -0.27419907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84844684934937))-π/2
    2×atan(6.34994943162561)-π/2
    2×1.41459759319756-π/2
    2.82919518639513-1.57079632675     		φ = 1.25839886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27419907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25839886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.100944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7477 KachelY 3372 -0.27419907 1.25839886 -15.710449 72.100944
    Oben rechts KachelX + 1 7478 KachelY 3372 -0.27381557 1.25839886 -15.688477 72.100944
    Unten links KachelX 7477 KachelY + 1 3373 -0.27419907 1.25828097 -15.710449 72.094189
    Unten rechts KachelX + 1 7478 KachelY + 1 3373 -0.27381557 1.25828097 -15.688477 72.094189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25839886-1.25828097) × R
    0.000117890000000065 × 6371000     		dl = 751.077190000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25839886-1.25828097) × R
    0.000117890000000065 × 6371000     		dr = 751.077190000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27419907--0.27381557) × cos(1.25839886) × R
    0.000383499999999981 × 0.307340945652905 × 6371000     		do = 750.919524683375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27419907--0.27381557) × cos(1.25828097) × R
    0.000383499999999981 × 0.307453127577937 × 6371000     		du = 751.193616368893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25839886)-sin(1.25828097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307340945652905-0.307453127577937)×R²
    abs(-0.27381557--0.27419907)×0.000112181925031651×R²
    0.000383499999999981×0.000112181925031651×6371000²
    0.000383499999999981×0.000112181925031651×40589641000000     		ar = 564101.459175553m²