Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7477 / 10650
↖ ↑ ↗
← S 47.428087°
W 15.710449°		 ← 1 652.91 m → S 47.428087°
W 15.688477°		 →
↑
1 652.64 m
↓
↑
1 652.64 m
↓
S 47.442950°
W 15.710449°		 ← 1 652.45 m →
2 731 283 m²		 S 47.442950°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456390380859375 y=0.650054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456390380859375 × 214)
    floor (0.456390380859375 × 16384)
    floor (7477.5)     		tx = 7477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650054931640625 × 214)
    floor (0.650054931640625 × 16384)
    floor (10650.5)     		ty = 10650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7477 / 10650 ti = "14/7477/10650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7477/10650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7477 ÷ 214
    7477 ÷ 16384     		x = 0.45635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10650 ÷ 214
    10650 ÷ 16384     		y = 0.6500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.0872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27419907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6500244140625 × 2 - 1) × π
    -0.300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942631194128784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27419907} λ = -0.27419907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942631194128784))-π/2
    2×atan(0.38960136870031)-π/2
    2×0.371510023086514-π/2
    0.743020046173028-1.57079632675     		φ = -0.82777628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27419907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82777628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.428087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7477 KachelY 10650 -0.27419907 -0.82777628 -15.710449 -47.428087
    Oben rechts KachelX + 1 7478 KachelY 10650 -0.27381557 -0.82777628 -15.688477 -47.428087
    Unten links KachelX 7477 KachelY + 1 10651 -0.27419907 -0.82803568 -15.710449 -47.442950
    Unten rechts KachelX + 1 7478 KachelY + 1 10651 -0.27381557 -0.82803568 -15.688477 -47.442950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82777628--0.82803568) × R
    0.000259400000000021 × 6371000     		dl = 1652.63740000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82777628--0.82803568) × R
    0.000259400000000021 × 6371000     		dr = 1652.63740000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27419907--0.27381557) × cos(-0.82777628) × R
    0.000383499999999981 × 0.676515042861209 × 6371000     		do = 1652.91465914929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27419907--0.27381557) × cos(-0.82803568) × R
    0.000383499999999981 × 0.676323990468436 × 6371000     		du = 1652.44786494565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82777628)-sin(-0.82803568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676515042861209-0.676323990468436)×R²
    abs(-0.27381557--0.27419907)×0.000191052392772839×R²
    0.000383499999999981×0.000191052392772839×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191052392772839×40589641000000     		ar = 2731282.87925399m²