Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74767 / 54621
↖ ↑ ↗
← N 28.697816°
E 25.353699°		 ← 267.91 m → N 28.697816°
E 25.356445°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
N 28.695406°
E 25.353699°		 ← 267.91 m →
71 774 m²		 N 28.695406°
E 25.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570430755615234 y=0.416728973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570430755615234 × 217)
    floor (0.570430755615234 × 131072)
    floor (74767.5)     		tx = 74767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416728973388672 × 217)
    floor (0.416728973388672 × 131072)
    floor (54621.5)     		ty = 54621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74767 / 54621 ti = "17/74767/54621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74767/54621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74767 ÷ 217
    74767 ÷ 131072     		x = 0.570426940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54621 ÷ 217
    54621 ÷ 131072     		y = 0.416725158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570426940917969 × 2 - 1) × π
    0.140853881835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44250552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416725158691406 × 2 - 1) × π
    0.166549682617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.523231259352913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44250552} λ = 0.44250552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523231259352913))-π/2
    2×atan(1.6874715077959)-π/2
    2×1.03583384783581-π/2
    2.07166769567162-1.57079632675     		φ = 0.50087137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44250552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.353699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50087137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.697816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74767 KachelY 54621 0.44250552 0.50087137 25.353699 28.697816
    Oben rechts KachelX + 1 74768 KachelY 54621 0.44255346 0.50087137 25.356445 28.697816
    Unten links KachelX 74767 KachelY + 1 54622 0.44250552 0.50082932 25.353699 28.695406
    Unten rechts KachelX + 1 74768 KachelY + 1 54622 0.44255346 0.50082932 25.356445 28.695406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50087137-0.50082932) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50087137-0.50082932) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44250552-0.44255346) × cos(0.50087137) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877164471743752 × 6371000     		do = 267.908607884179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44250552-0.44255346) × cos(0.50082932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877184662960082 × 6371000     		du = 267.914774801368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50087137)-sin(0.50082932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877164471743752-0.877184662960082)×R²
    abs(0.44255346-0.44250552)×2.01912163303453e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01912163303453e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01912163303453e-05×40589641000000     		ar = 71773.689472783m²