Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74764 / 54733
↖ ↑ ↗
← N 28.427637°
E 25.345459°		 ← 268.60 m → N 28.427637°
E 25.348206°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
N 28.425222°
E 25.345459°		 ← 268.60 m →
72 129 m²		 N 28.425222°
E 25.348206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570407867431641 y=0.417583465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570407867431641 × 217)
    floor (0.570407867431641 × 131072)
    floor (74764.5)     		tx = 74764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417583465576172 × 217)
    floor (0.417583465576172 × 131072)
    floor (54733.5)     		ty = 54733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74764 / 54733 ti = "17/74764/54733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74764/54733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74764 ÷ 217
    74764 ÷ 131072     		x = 0.570404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54733 ÷ 217
    54733 ÷ 131072     		y = 0.417579650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570404052734375 × 2 - 1) × π
    0.14080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44236171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417579650878906 × 2 - 1) × π
    0.164840698242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.517862326595467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44236171} λ = 0.44236171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517862326595467))-π/2
    2×atan(1.67843586432623)-π/2
    2×1.03347610006389-π/2
    2.06695220012778-1.57079632675     		φ = 0.49615587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44236171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49615587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.427637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74764 KachelY 54733 0.44236171 0.49615587 25.345459 28.427637
    Oben rechts KachelX + 1 74765 KachelY 54733 0.44240965 0.49615587 25.348206 28.427637
    Unten links KachelX 74764 KachelY + 1 54734 0.44236171 0.49611372 25.345459 28.425222
    Unten rechts KachelX + 1 74765 KachelY + 1 54734 0.44240965 0.49611372 25.348206 28.425222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49615587-0.49611372) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49615587-0.49611372) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44236171-0.44240965) × cos(0.49615587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87941904728908 × 6371000     		do = 268.597213288186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44236171-0.44240965) × cos(0.49611372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879439111950598 × 6371000     		du = 268.603341552278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49615587)-sin(0.49611372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87941904728908-0.879439111950598)×R²
    abs(0.44240965-0.44236171)×2.00646615179378e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00646615179378e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00646615179378e-05×40589641000000     		ar = 72129.2872984372m²