Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74764 / 54622
↖ ↑ ↗
← N 28.695406°
E 25.345459°		 ← 267.91 m → N 28.695406°
E 25.348206°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
N 28.692997°
E 25.345459°		 ← 267.92 m →
71 775 m²		 N 28.692997°
E 25.348206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570407867431641 y=0.416736602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570407867431641 × 217)
    floor (0.570407867431641 × 131072)
    floor (74764.5)     		tx = 74764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416736602783203 × 217)
    floor (0.416736602783203 × 131072)
    floor (54622.5)     		ty = 54622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74764 / 54622 ti = "17/74764/54622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74764/54622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74764 ÷ 217
    74764 ÷ 131072     		x = 0.570404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54622 ÷ 217
    54622 ÷ 131072     		y = 0.416732788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570404052734375 × 2 - 1) × π
    0.14080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44236171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416732788085938 × 2 - 1) × π
    0.166534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.523183322453293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44236171} λ = 0.44236171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523183322453293))-π/2
    2×atan(1.68739061758245)-π/2
    2×1.03581282332121-π/2
    2.07162564664242-1.57079632675     		φ = 0.50082932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44236171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50082932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.695406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74764 KachelY 54622 0.44236171 0.50082932 25.345459 28.695406
    Oben rechts KachelX + 1 74765 KachelY 54622 0.44240965 0.50082932 25.348206 28.695406
    Unten links KachelX 74764 KachelY + 1 54623 0.44236171 0.50078727 25.345459 28.692997
    Unten rechts KachelX + 1 74765 KachelY + 1 54623 0.44240965 0.50078727 25.348206 28.692997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50082932-0.50078727) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50082932-0.50078727) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44236171-0.44240965) × cos(0.50082932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877184662960082 × 6371000     		do = 267.914774801058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44236171-0.44240965) × cos(0.50078727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877204852625372 × 6371000     		du = 267.92094124452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50082932)-sin(0.50078727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877184662960082-0.877204852625372)×R²
    abs(0.44240965-0.44236171)×2.01896652902711e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01896652902711e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01896652902711e-05×40589641000000     		ar = 71775.341529632m²