Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74763 / 54732
↖ ↑ ↗
← N 28.430053°
E 25.342712°		 ← 268.59 m → N 28.430053°
E 25.345459°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
N 28.427637°
E 25.342712°		 ← 268.60 m →
72 145 m²		 N 28.427637°
E 25.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570400238037109 y=0.417575836181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570400238037109 × 217)
    floor (0.570400238037109 × 131072)
    floor (74763.5)     		tx = 74763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417575836181641 × 217)
    floor (0.417575836181641 × 131072)
    floor (54732.5)     		ty = 54732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74763 / 54732 ti = "17/74763/54732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74763/54732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74763 ÷ 217
    74763 ÷ 131072     		x = 0.570396423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54732 ÷ 217
    54732 ÷ 131072     		y = 0.417572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570396423339844 × 2 - 1) × π
    0.140792846679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44231377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417572021484375 × 2 - 1) × π
    0.16485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.517910263495087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44231377} λ = 0.44231377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517910263495087))-π/2
    2×atan(1.67851632526629)-π/2
    2×1.03349717813464-π/2
    2.06699435626927-1.57079632675     		φ = 0.49619803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44231377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.342712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49619803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.430053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74763 KachelY 54732 0.44231377 0.49619803 25.342712 28.430053
    Oben rechts KachelX + 1 74764 KachelY 54732 0.44236171 0.49619803 25.345459 28.430053
    Unten links KachelX 74763 KachelY + 1 54733 0.44231377 0.49615587 25.342712 28.427637
    Unten rechts KachelX + 1 74764 KachelY + 1 54733 0.44236171 0.49615587 25.345459 28.427637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49619803-0.49615587) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49619803-0.49615587) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44231377-0.44236171) × cos(0.49619803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879398976304311 × 6371000     		do = 268.591083093122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44231377-0.44236171) × cos(0.49615587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87941904728908 × 6371000     		du = 268.597213288497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49619803)-sin(0.49615587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879398976304311-0.87941904728908)×R²
    abs(0.44236171-0.44231377)×2.00709847689717e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00709847689717e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00709847689717e-05×40589641000000     		ar = 72144.7535028189m²