Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74760 / 54727
↖ ↑ ↗
← N 28.442129°
E 25.334473°		 ← 268.56 m → N 28.442129°
E 25.337219°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
N 28.439714°
E 25.334473°		 ← 268.57 m →
72 137 m²		 N 28.439714°
E 25.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570377349853516 y=0.417537689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570377349853516 × 217)
    floor (0.570377349853516 × 131072)
    floor (74760.5)     		tx = 74760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417537689208984 × 217)
    floor (0.417537689208984 × 131072)
    floor (54727.5)     		ty = 54727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74760 / 54727 ti = "17/74760/54727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74760/54727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74760 ÷ 217
    74760 ÷ 131072     		x = 0.57037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54727 ÷ 217
    54727 ÷ 131072     		y = 0.417533874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    0.1407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44216996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417533874511719 × 2 - 1) × π
    0.164932250976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.518149947993187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44216996} λ = 0.44216996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518149947993187))-π/2
    2×atan(1.67891868782737)-π/2
    2×1.03360256127225-π/2
    2.06720512254451-1.57079632675     		φ = 0.49640880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44216996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49640880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.442129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74760 KachelY 54727 0.44216996 0.49640880 25.334473 28.442129
    Oben rechts KachelX + 1 74761 KachelY 54727 0.44221790 0.49640880 25.337219 28.442129
    Unten links KachelX 74760 KachelY + 1 54728 0.44216996 0.49636664 25.334473 28.439714
    Unten rechts KachelX + 1 74761 KachelY + 1 54728 0.44221790 0.49636664 25.337219 28.439714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49640880-0.49636664) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dl = 268.601359999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49640880-0.49636664) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dr = 268.601359999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44216996-0.44221790) × cos(0.49640880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879298612222786 × 6371000     		do = 268.560429319252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44216996-0.44221790) × cos(0.49636664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879318691021593 × 6371000     		du = 268.566561901236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49640880)-sin(0.49636664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879298612222786-0.879318691021593)×R²
    abs(0.44221790-0.44216996)×2.0078798807166e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0078798807166e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0078798807166e-05×40589641000000     		ar = 72136.5201778821m²